интеграл вида

    (16)

Вычислим первый центральный момент:

   (17)

Таким образом, первый центральный момент результатов наблюдений равен нулю. Важно отметить, что начальные и центральные моменты случайных погрешностей совпадают между собой и с центральными моментами результатов наблюдений, поскольку математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю.

Особое значение наряду с математическим ожиданием результатов наблюдений имеет второй центральный момент, называемый дисперсией результатов наблюдений.

При n=2

   (18)

Дисперсия D[X] случайной погрешности равна дисперсии результатов наблюдений и является характеристикой их рассеивания относительно математического ожидания.

Если математическое ожидание результатов наблюдений можно рассматривать в механической интерпретации как абсциссу центра тяжести фигуры, заключенной между кривой распределения и осью Ох, то дисперсия является аналогом момента инерции этой фигуры относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести.

Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины, поэтому она не совсем удобна в качестве характеристики рассеивания. Значительно чаще в качестве последней используется положительное значение корня квадратного из дисперсии, называемое средним квадратическим отклонением результатов наблюдений:

   (19)

С помощью среднеквадратического отклонения можно оценить вероятность того, что при однократном наблюдении случайная погрешность по абсолютной величине не превзойдет некоторой наперед заданной величины ε, т.е. вероятность P{|δ|}<ε. Для этого рассмотрим формулу, известную как неравенство Чебышева:

   или   (20)

Полагая ε=3σ_X, можно найти вероятность того, что результат однократного наблюдения отличается от истинного значения на величину, большую утроенного среднеквадратического отклонения, т.е. вероятность того, что случайная погрешность окажется больше 3σ_X:

 

Вероятность того, что погрешность измерения не превысит 3σ_X, составит соответственно

P{|δ|<ε} ≥ 1–0.11 = 0.89

Неравенство Чебышева дает только нижнюю границу для вероятности P{|δ|}<ε, меньше которой она не может быть ни при каком распределении. Обычно P{|δ|}<3σ значительно больше 0.89. Так, например, в случае нормального распределения погрешностей эта вероятность составляет 0.9973.

Математическое ожидание и дисперсия являются наиболее часто применяемыми моментами, поскольку они определяют наиболее важные черты распределения: положение центра распределения и степень его разбросанности. Для более подробного описания распределения используются моменты более высоких порядков.

Третий момент случайных погрешностей служит характеристикой асимметрии, или скошенности распределения. В общем случае любой нечетный момент случайной погрешности характеризует асимметрию распределения. Действительно, если распределение обладает свойством симметрии, то все функции вида δ^sp_δ(δ), где s = 1, 3, 5…, являются нечетными функциями δ (рис.3).

Поэтому все нечетные моменты, являющиеся интегралами этих функций в бесконечных пределах, должны равняться нулю. Отличие этих моментов от нуля как раз и указывает на асимметрию распределения. Простейшим из нечетных моментов является третий момент μ₃[δ]. Чтобы получить безразмерную характеристику, третий момент делят на третью степень среднеквадратического отклонения и получают коэффициент асимметрии, или просто асимметрию Sk распределения:

   (21)

Для иллюстрации сказанного на рис. 4 приведены три кривые распределения случайных погрешностей с положительной, отрицательной и нулевой асимметрией.

Четвертый момент служит для характеристики плосковершинности или островершинности распределения случайных погрешностей. Эти свойства описываются с помощью эксцесса — безразмерной характеристики, определяемой выражением

   (22)

Число 3 вычитают из отношения   потому, что для широко распространенного нормального распределения погрешностей μ₄[δ] =3σ⁴x. Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю, более плосковершинные распределения обладают отрицательным эксцессом, более островершинные — положительным (рис.5).

Случайная погрешность измерения образуется под влиянием большого числа факторов, сопутствующих процессу измерения. В каждой конкретной ситуации работает свой механизм образования погрешности. Поэтому естественно предположить, что каждой ситуации должен соответствовать свой тип распределения погрешности. Однако во многих случаях имеются возможности еще до проведения измерений сделать некоторые предположения о форме функции распределения, так что после проведения измерений остается только определить значения некоторых параметров, входящих в выражение для предполагаемой функции распределения.

Случайная погрешность характеризует неопределенность наших знаний об истинном значении измеряемой величины, полученных в результате проведенных наблюдений. Согласно К. Шеннону мерой неопределенности ситуации, описываемой случайной величиной X, является энтропия [4]

являющаяся функционалом дифференциальной функции распределения p_X(x). Можно предположить, что любой процесс измерения формируется таким образом, что неопределенность результата наблюдений оказывается наибольшей в некоторых пределах, определяемых допускаемыми значениями погрешности. Поэтому наиболее вероятными должны быть такие распределения p_X (x), при которых энтропия обращается в максимум.

Для выявления вида наиболее вероятных распределений рассмотрим несколько наиболее типичных случаев [3].

1. В классе распределений результатов наблюдений p_X (x), обладающих определенной зоной рассеивания между значениями х = b и х = а шириной b-