• 0 ≤ F_x(x) ≤ 1 при x ∈ (–∞, +∞),

• F_x(–∞) = 0, F_x (+∞) = 1,

• F_x(x) — неубывающая функция x,

• P(x₁ < X < x₂) = F_X (x₂) – F_X (x₁).

На рис.2 показаны примеры функций распределения вероятности.

Более наглядным является описание свойств результатов наблюдений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей:

f(x) = dF_X (x)/dx  (5)

Физический смысл f(x) состоит в том, что произведение f(x) dx представляет вероятность попадания случайной величины Х в интервал от х до х + dx , т.е.

f(x)dx = P(x ≤ X ≤ x+dx)  (6)

Свойства плотности распределения вероятности:

   — вероятность достоверного события равна 1;

иными словами, площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице;

   — вероятность попадания случайной величины в интервал от x₁ до x₂.

От дифференциальной функции распределения легко перейти к интегральной путем интегрирования:

   (7)

Размерность плотности распределения вероятностей, как это следует из формулы (7), обратна размерности измеряемой величины, поскольку сама вероятность — величина безразмерная.

Используя понятия функций распределения, легко получить выражения для вероятностей того, что результат наблюдений Х или случайная погрешность δ примет при проведении измерения некоторое значение в интервале [x₁, x₂] или [δ₁, δ₂].

В терминах интегральной функции распределения имеем:

P(x₁ < X ≤ x₂) = P{-∞ < X ≤ x₂} – P{-∞ < X ≤ x₁} = F_x (x₂) – F_x (x₁)

P(δ₁ < δ ≤ δ₂) = P{-∞ < δ ≤ δ₂} – P{-∞ < δ ≤ δ₁} = F_δ(δ₂) – F_δ(δ₁)

т.е. вероятность попадания результата наблюдений или случайной погрешности в заданный интервал равна разности значений функции распределения на границах этого интервала.

Заменяя в полученных формулах интегральные функции распределения на соответствующие плотности распределения вероятностей согласно выражению (7), получим формулы для искомой вероятности в терминах дифференциальной функции распределения:

   (8)

   (9)

Таким образом, вероятность попадания результата наблюдения или случайной погрешности в заданный полуоткрытый интервал равна площади, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и перпендикулярами к ней на границах этого интервала. Необходимо отметить, что результаты наблюдений в значительной степени сконцентрированы вокруг истинного значения измеряемой величины и по мере приближения к нему элементы вероятности их появления возрастают. Это дает основание принять за оценку истинного значения измеряемой величины координату центра тяжести фигуры, образованной осью абсцисс и кривой распределения, и называемую математическим ожиданием результатов наблюдений:

   (10)

В заключение можно дать более строгое определение постоянной систематической и случайной погрешностей.

Систематической постоянной погрешностью называется отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения измеряемой величины:

θ = M[X] – Q (11)

а случайной погрешностью — разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием результатов

δ = X – M[X]  (12)

В этих обозначениях истинное значение измеряемой величины составляет

Q = X – θ – δ  (13)

Функция распределения является самым универсальным способом описания поведения случайных погрешностей. Однако для определения функций распределения необходимо проведение весьма кропотливых научных исследований и обширных вычислительных работ. Поэтому к такому способу описания случайных погрешностей прибегают иногда при исследовании принципиально новых мер и измерительных приборов.

Значительно чаще бывает достаточно охарактеризовать случайные погрешности с помощью ограниченного числа специальных величин, называемых моментами [3].

Начальным моментом n-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

   (14)

представляющий собой математическое ожидание степени Xⁿ.

При n=1

   (15)

т.е. первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием результатов измерений.

Центральным моментом n-го порядка результатов наблюдений называется