Дифференциальная функция распределения случайных погрешностей получается подстановкой δ=x-m_X и σ_X=σ_δ в выражение (30):

Асимметрия распределения равна нулю, поскольку распределение симметрично относительно нуля, а эксцесс в соответствии с формулой (22) составляет

Таким образом, по сравнению с нормальным распределением (Ех = 0) равномерное распределение является более плосковершинным (Ех = -1.2), а распределение Лапласа — более островершинным (Ех = 3).

Мы подошли к решению вопроса о том, как на основании полученной в эксперименте группы результатов наблюдений оценить истинное значение, т.е. найти результат измерений, как оценить его точность, т.е. меру его приближения к истинному значению.

Эта задача является частным случаем статистической задачи нахождения оценок параметров функции распределения случайной величины на основании выборки — ряда значений, принимаемых этой величиной в n независимых опытах. Оцениваемыми параметрами являются математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение, поскольку только они входят в выражение для дифференциальных функций всех трех рассмотренных выше распределений. В уравнениях (25) и (30) для нормального распределения и распределения Лапласа эти параметры входят явно, а в уравнения (23) и (24) для равномерного распределения — не явно, поскольку

α = σ_δ√3, b = m_X+α = m_X +σ_X√3, a = m_X-α = m_X- σ_X√3

Оценку â параметра а назовем точечной, если она выражается одним числом. Любая точечная оценка, вычисленная на основании опытных данных, является их функцией и поэтому сама должна представлять собой случайную величину с распределением, зависящим от распределения исходной случайной величины, в том числе от самого оцениваемого параметра и от числа опытов n.

К точечным оценкам предъявляется ряд требований, определяющих их пригодность для описания самих параметров.

1. Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она приближается (сходится по вероятности) к значению оцениваемого параметра.

2. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру.

3. Оценка называется эффективной, если ее дисперсия меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра.

На практике не всегда удается удовлетворить одновременно все эти требования, однако выбору оценки должен предшествовать ее критический анализ со всех перечисленных выше точек зрения.

Существует несколько методов определения оценок. Наиболее распространен метод максимального правдоподобия, теоретически обоснованный математиком Р. Фишером. Идея метода заключается в следующем. Вся получаемая в результате многократных наблюдений информация об истинном значении измеряемой величины и рассеивании результатов сосредоточена в ряде наблюдений X₁, X₂, …, X_n , где n — число наблюдений. Их можно рассматривать как n независимых случайных величин с одной и той же дифференциальной функцией распределения p_X(x, Q, σ_x). Вероятность P_i получения в эксперименте некоторого результата X_i, лежащего в интервале x_i ±Δx, где Δx — некоторая малая величина, равна соответствующему элементу вероятности P_i=p_X(x, Q, σ_x) Δx.

Независимость результатов наблюдений позволяет найти априорную вероятность появления одновременно всех экспериментальных данных, т.е. всего ряда наблюдений X₁, X₂, …, X_n как произведение этих вероятностей:

Если рассматривать Q и σ_x как неизвестные параметры распределения, то, подставляя различные значения Q и σ_x в эту формулу, мы будем получать различные значения вероятности P (X₁, X₂, …, X_n ) при каждом фиксированном ряде наблюдений X₁, X₂, …, X_n . При некоторых значениях  и  вероятность получения экспериментальных данных P (X₁, X₂, …, X_n ) достигает наибольшего значения. В соответствии с методом максимального правдоподобия именно эти значения и принимаются в качестве точечных оценок истинного значения и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений.

Таким образом, метод максимального правдоподобия сводится к отысканию таких оценок  и , при которых функция правдоподобия

   (31)

достигает наибольшего значения. Постоянный сомножитель Δx_n не оказывает влияния на решение и поэтому может быть отброшен. Полученные оценки  и  истинного значения и среднеквадратического отклонения называются оценками максимального правдоподобия.

Для упрощения вычислений иногда бывает удобнее пользоваться логарифмической функцией правдоподобия

   (32)

Если наибольшее значение функции правдоподобия совпадает с максимальным значением, то оценки получаются из системы уравнений

   (33)

В противном случае необходимо более подробное исследование функции правдоподобия.

Далее определим оценки максимального правдоподобия для трех распределений случайных погрешностей, представленных в предыдущей главе.

1. Результаты наблюдений распределены нормально. В этом случае

а логарифмическая функция правдоподобия в соответствии с (32)