соответствующей доверительной вероятности Р. Для определения доверительной границы (при выполнении перечисленных условий) задаются доверительной вероятностью, например Р=0.95 или Р=0.995 и по формулам

   (35)

определяют соответствующее значение Φ(t_p) интегральной функции нормированного нормального распределения. Затем по данным табл. П.3 приложения находят значение коэффициента t_p и вычисляют доверительное отклонение . Проведение многократных наблюдений позволяет значительно сократить доверительный интервал. Действительно, если результаты наблюдений X_i (i=1, 2,..., n) распределены нормально, то нормально распределены и величины X_i/n, а значит, и среднее арифметическое , являющееся их суммой. Поэтому имеет место равенство

   (36)

где t_p определяется по заданной доверительной вероятности Р.

Полученный доверительный интервал, построенный с помощью среднего арифметического результатов n независимых повторных наблюдений, в √n раз короче интервала, вычисленного по результату одного наблюдения, хотя доверительная вероятность для них одинакова. Это говорит о том, что сходимость измерений растет пропорционально корню квадратному из числа наблюдений.

Половина длины нового доверительного интервала

   (37)

называется доверительной границей погрешности результата измерений, а итог измерений записывается в виде

   (38)

Теперь рассмотрим случай, когда распределение результатов наблюдений нормально, но их дисперсия неизвестна. В этих условиях пользуются отношением

   (39)

называемым дробью Стьюдента. Входящие в нее величины  и s_X вычисляют на основании опытных данных; они представляют собой точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений.

Плотность распределения этой дроби, впервые предсказанного Госсетом, писавшим под псевдонимом Стьюдент, выражается следующим уравнением:

   (40)

где S(t, k) — плотность распределения Стьюдента. Величина k называется числом степеней свободы и равна n – 1. Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале (– t_p, +t_p), согласно выражению (8), вычисляется по формуле

или, поскольку S(t, k) является четной функцией аргумента t,

Подставив вместо дроби Стьюдента t ее выражение через  и , получим окончательно

   (41)

Величины t_p, вычисленные по формулам (40) и (41), были табулированы Фишером для различных значений доверительной вероятности Р в пределах 0.10–0.99 при k = n–1 = 1,2,…,30. В табл. П.5 приведены значения t_p для наиболее часто употребляемых доверительных вероятностей Р.

Таким образом, с помощью распределения Стьюдента по формуле (41) может быть найдена вероятность того, что отклонение среднего арифметического от истинного значения измеряемой величины не превышает , например  и т.д. Итог измерений записывается в виде

   (42)

Пример. По результатам пяти наблюдений была найдена длина стержня. Итог измерений составляет L=15.785 мм, =0.005 мм, причем существуют достаточно обоснованные предположения о том, что распределение результатов наблюдений было нормальным. Требуется оценить вероятность того, что истинное значение длины стержня отличается от среднего арифметического из пяти наблюдений не больше чем на 0.01 мм.

Из условия задачи следует, что имеются все основания для применения распределения Стьюдента.

Вычисляем значение дроби Стьюдента

и число степеней свободы

k = n–1 = 5–1 = 4.

По данным табл. П.4 приложения находим значение доверительной вероятности для

t_p = 2 и k = 4: .

Для t_p = 3 вероятность составляет

т.е несколько меньше 0.9973, как при нормальном распределении. Итог измерений удобно записать в виде

L = (15.785±0.010) мм, P = 0.8838.

Для t_p = 1 доверительная вероятность составляет приблизительно 0.62, поэтому итог измерений можно представить также в виде

L = (15.785±0.005) мм, P = 0.62,

L = (15.785±0.015) мм, P = 0.96.

Пример. В условиях предыдущей задачи найти доверительную границу погрешности результата измерений для доверительной вероятности P=0.99. По данным табл. П.5 при k=4 находим t_p=4.604 и, следовательно, доверительная граница:

  мм.

Итог измерений:

L = (15.785±0.023) мм, P = 0.99.

При n→∞, а практически уже при n = 20–30 распределение Стьюдента переходит в нормальное распределение и

где Φ(t_p) — интегральная функции нормированного нормального распределения.

В тех случаях, когда распределение случайных погрешностей не является нормальным, все же часто пользуются распределением Стьюдента с приближением, степень которого остается неизвестной.

Кроме того, на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей можно утверждать, что при достаточно большом числе наблюдений распределение среднего арифметического как суммы случайных величин X_i/n будет сколь угодно