Система уравнений (33) приводится к виду

Из первого уравнения получаем выражение для оценки истинного значения , а из второго — оценку среднеквадратического отклонения :

Таким образом, при нормальном распределении случайных погрешностей оценкой максимального правдоподобия для истинного значения является среднее арифметическое из результатов отдельных наблюдений, а оценкой дисперсии — среднее из квадратов отклонений результатов наблюдений от среднего арифметического.

2. Результаты наблюдений распределены по закону Лапласа

Логарифмическая функция правдоподобия не является дифференцируемой по Q, поэтому приходится прибегать к численным методам, функция правдоподобия достигает наибольшего значения, когда выражение  принимает наименьшее значение. Поэтому задача об отыскании оценки истинного значения сводится к определению такого значения , сумма модулей отклонений результатов наблюдений от которого является наименьшей. Задача решается методом последовательных приближений, причем в качестве первого приближения можно принять среднее арифметическое из полученных результатов.

3. В условиях равномерного распределения погрешностей

причем a = Q– σ_X√3 и b = Q+σ_X√3.

Решение задачи нахождения оценки максимального правдоподобия для равномерного распределения погрешностей проводим численными методами, в результате чего получаем:

Основное достоинство оценок максимального правдоподобия в том, что они являются асимптотически (при n→∞) несмещенными; асимптотически эффективными и асимптотически нормально распределенными.

Если â — оценка максимального правдоподобия для параметра а, то при достаточно большом числе n наблюдений (практически уже при n>20-25) эту оценку можно считать нормально распределенной с математическим ожиданием M[â] =a и дисперсией D[â]= (M[– ∂²L/∂a²])^{- 1} при любом распределении результатов наблюдений.

Для наиболее часто встречающегося на практике нормального распределения случайных погрешностей оценки максимального правдоподобия имеются особые обозначения.

Оценкой истинного значения является среднее арифметическое  из результатов отдельных наблюдений X_i,

 .

Вторая производная от логарифмической функции преобразования равна ∂²L/∂Q² = – n/σ²_X, поэтому дисперсия среднего арифметического в n раз меньше дисперсии σ²_X результатов наблюдений, т. е.

 .

Оценка дисперсии результатов наблюдений при малом n является немного смещенной, поэтому точечную оценку дисперсии принято определять как

а оценку среднеквадратического отклонения результатов наблюдений как

Дисперсия оценки s_X среднеквадратического отклонения составляет

 .

Последнее соотношение показывает, что относительная погрешность определения среднеквадратического отклонения (в %) по результатам обработки ряда наблюдений достаточно велика:

и даже при n = 50 достигает 10%. Для надежного суждения о точности эту погрешность следует увеличить еще минимум в два раза.

С помощью полученных оценок итог измерений можно записать в виде

что уже позволяет сделать некоторые выводы относительно точности проведенных измерений.

Наряду с методом максимального правдоподобия при определении точечных оценок широко используется метод наименьших квадратов. В соответствии с этим методом среди некоторого класса оценок выбирают ту, которая обладает наименьшей дисперсией, т. е. наиболее эффективную оценку. Легко заметить, что среди всех линейных оценок истинного значения вида , где α_i — некоторые постоянные, именно среднее арифметическое обращает в минимум дисперсию . Поэтому для случая нормально распределенных случайных погрешностей оценки, получаемые методом наименьших квадратов, совпадают с оценками максимального правдоподобия.

Смысл оценки параметров с помощью интервалов заключается в нахождении интервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенными вероятностями (доверительными) находятся истинные значения оцениваемых параметров.

Вначале остановимся на определении доверительного интервала для среднего арифметического значения измеряемой величины. Предположим, что распределение результатов наблюдений нормально и известна дисперсия σ²_X. Найдем вероятность попадания результата наблюдений в интервал . Согласно формуле (29)

Но

и, если систематические погрешности исключены (m_X = Q),

   (34)

Это означает, что истинное значение Q измеряемой величины с доверительной вероятностью P=2Φ (t_p)–1 находится между границами доверительного интервала .

Половина длины доверительного интервала  называется доверительной границей случайного отклонения результатов наблюдений,