Ранее мы выражали степень концентрированности капитала путем расчета коэффициента вариации весов различных комбинаций, входящих в состав портфеля (раздел 4.3.2, таблица 4.3.2). Поскольку сейчас мы обрабатываем большой массив данных (6448 портфелей для каждого из семи показателей распределения капитала) целесообразно будет ввести другой, более удобный и статистически более обоснованный показатель. Назовем его «индекс концентрированности портфеля».
Продемонстрируем расчет индекса концентрированности на примере данных таблицы 4.3.2 и двух показателей, математического ожидания прибыли и дельты. На основе каждого из этих двух показателей был сформирован портфель, состоящий из 20 комбинаций. Данные портфели отличаются друг от друга только набором весов w, в соответствии с которыми распределяется капитал между комбинациями. Для каждого портфеля отсортируем все комбинации по весу инвестированного в них капитала. Рассчитаем кумулятивную пропорцию капитала для двух комбинаций с наибольшим весом, затем для трех комбинаций и так далее до 20-й комбинации. Построим функцию зависимости кумулятивной пропорции от пропорции комбинаций в портфеле (отношение числа комбинаций, для которых было рассчитано данное значение кумулятивной функции к общему количеству комбинаций в портфеле). Например, для портфеля, сформированного по показателю «математическое ожидание прибыли», три комбинации с наибольшими весами имеют суммарный вес 0,34 (значение функции кумулятивной пропорции). Соответствующее этому весу значение пропорции комбинаций в портфеле равно 3/20 = 0,15. Это означает, что 34 % капитала сосредоточено в 15 % комбинаций.
На рис. 4.4.6 показаны две функции кумулятивной пропорции, соответствующие показателям «математическое ожидание прибыли» и «дельта» (данные взяты из таблицы 4.3.2). Используя эти функции, можно рассчитать, в каком проценте комбинаций (от общего числа комбинаций в портфеле) сосредоточено 50 % капитала. Это и будет значением индекса концентрированности портфеля. Для показателя «математическое ожидание прибыли» индекс равен 0,25, а для дельты он равен приблизительно 0,42. Это означает, что при распределении капитала по матожиданию прибыли 50 % капитала оказалось вложенным в 25 % комбинаций, а при формировании портфеля по показателю дельты половина капитала была вложена в 42 % комбинаций. Следовательно, в данном примере использование показателя «математическое ожидание прибыли» приводит к более концентрированному распределению капитала и, соответственно, созданию менее диверсифицированного портфеля.
Используя эту методику, мы рассчитали значения индекса концентрированности для каждого из 6448 портфелей, сформированных на исследуемом историческом периоде с помощью одного из семи показателей. Для того чтобы сравнить степень концентрированности капитала при формировании портфеля с помощью разных показателей, мы построили частотное распределение индекса концентрированности для каждого отдельно взятого показателя (рис. 4.4.7).
Когда капитал распределялся по показателям, не связанным с оценкой доходности и риска, распределение значений индекса концентрированности портфеля имеет вид, близкий по форме к нормальному (два верхних графика рис. 4.4.7). При распределении капитала обратно пропорционально премии приблизительно в 8 % случаев половина капитала оказалась вложенной в 16–17 % комбинаций. Когда портфель формировался по принципу эквивалентности позиции в акциях, в 7%случаев половина капитала была сконцентрирована в 15–20 % комбинаций. Экстремальные случаи, когда половина капитала была вложена в 1–3 % комбинаций были крайне редки (не более 2 % от общего количества сформированных портфелей).
Для тех портфелей, которые формировались с помощью показателя «математическое ожидание прибыли», распределение индекса концентрированности явно ненормально (левый средний график рис. 4.4.7). Чаще всего (9–11 % случаев) капитал был сконцентрирован в 1–2 % комбинаций. Портфели, в которых половина капитала была распределена в более 15 % комбинаций, были крайне редки (менее 4 % случаев).
При формировании портфеля по показателю «вероятность получения прибыли» распределение индекса концентрированности напоминает по форме равномерное распределение (правый средний график рис. 4.4.7). С частотой приблизительно равной 6 %, половина капитала инвестировалась в 3 % комбинаций, 4 % комбинаций и так далее до порядка 15 % комбинаций. По определению равномерное распределение характеризуется одинаковой частотой исходов для всех значений исследуемой переменной. Однако в данном случае распределение не является полностью равномерным, поскольку значения индекса концентрированности, лежащие в диапазоне от 15 % комбинаций и выше, встречаются с убывающей частотой.
В тех случаях, когда капитал внутри портфеля распределялся по дельте (нижний левый график рис. 4.4.7) и по коэффициенту асимметрии (не показан на рисунке) распределение индекса концентрированности напоминает по форме распределение, полученное для показателя «вероятность получения прибыли». Это указывает на относительную равномерность распределения капитала между комбинациями. Зато при формировании портфеля по другому показателю, выражающему оценку риска, по VaR, распределение имеет вид нормального (нижний правый график рис. 4.4.7), что свидетельствует о меньшей степени концентрированности капитала в пределах портфеля.
Подводя итоги, можно разделить семь показателей, использованных для распределения капитала внутри портфеля, на три условные группы (по степени концентрированности портфелей):
1. Показатели, использование которых приводит к созданию высококонцентрированных портфелей. В таких портфелях относительно большая доля капитала инвестируется лишь в несколько комбинаций. В нашем исследовании таким показателем является «математическое ожидание прибыли».
2. Показатели, которые приводят к формированию портфелей со средней степенью концентрации капитала. В этих портфелях большая часть капитала инвестируется в порядка 15 % от общего числа комбинаций, входящих в состав портфеля. К таким показателям можно отнести премию, эквивалент позиции в акциях и VaR.
3. Показатели, использование которых приводит к созданию портфелей с приблизительно равномерным распределением капитала между комбинациями. В нашем исследовании к таким показателям относятся «вероятность получения прибыли», «дельта» и «коэффициент асимметрии».
4.4.3. Трансформации весовой функции
Во всех рассмотренных выше примерах весовая функция φ(C) вычислялась для каждой комбинации C по значениям того или иного показателя, рассчитанного для этой комбинации. Говоря формальным языком, φ(C) это сложная функция вида φ(C) = f(x(C)), где x(C) – определенный показатель, выбранный для распределения капитала. До сих пор мы полагали, что весовая функция принимает значения показателя, то есть рассматривали частный случай φ(C) = x(C). В этом случае вес каждой комбинации в составе портфеля прямо пропорционален значению показателя, соответствующего данной комбинации (графически зависимость веса от показателя является прямой линией). Однако мы не обязаны ограничиваться частным случаем линейной зависимости и можем допустить в принципе любой вид весовой функции, соответствующий торговой идее и параметрам стратегии.
Например, разработчик торговой системы может протестировать вариант, при котором комбинации, имеющие высокие значения показателя, получают значительно большую долю капитала, чем им следовало получить при пропорциональном распределении капитала. Соответственно, комбинации с более низкими значениями показателя получают непропорционально меньшую долю капитала. Этого можно добиться путем трансформации линейной весовой функции в выпуклую функцию.
Противоположный сценарий может состоять в том, что в комбинации, имеющие высокие значения показателя, инвестируется меньшая доля капитала, чем при пропорциональном распределении капитала. В таком случае непропорционально большая доля капитала инвестируется в комбинации с низкими значениями показателя. Для достижения такого результата следует трансформировать линейную весовую функцию в вогнутую функцию.
Можно разработать множество математических вариантов решения данной задачи. Продемонстрируем здесь наиболее простой и технически легко реализуемый вариант трансформации линейных функций в вогнутые и выпуклые. Для этого представим весовую функцию в следующем
