от портфеля к портфелю. Поскольку число разных базовых активов, включенных в состав портфеля, отражает в значительной степени уровень его диверсификации, логично предположить, что в малодиверсифицированных портфелях выбор способа распределения капитала оказывает большее влияние на будущую прибыль, чем в портфелях с высоким уровнем диверсификации. По аналогии с предыдущими исследованиями мы сгруппировали все данные по количеству базовых активов, вошедших в состав портфеля. Поскольку исходным материалов для формирования портфелей были акции из индекса S&P 500, то максимальное количество базовых активов, которые потенциально могут войти в портфель, не превышает 500. Хотя теоретически минимальное количество базовых активов равно 1, по факту ни один из созданных портфелей не содержал меньше 12 акций.

Данные, представленные на рис. 4.4.5, подтверждают, что наши предположения оправдались. Существует ярко выраженная обратная зависимость изменчивости прибыли от числа базовых активов. Более того, эта зависимость не линейна. В общем виде можно утверждать, что изменчивость прибыли тем меньше, чем больше базовых активов входит в состав портфеля. Это означает, что прибыли портфелей почти не отличаются друг от друга (то есть не зависят от способа распределения капитала), когда портфель состоит из комбинаций, относящихся к большому количеству базовых активов. Если же в портфель не диверсифицирован и в него входит мало базовых активов, то способ распределения капитала может оказывать существенное влияние на будущую прибыль.

Нелинейность зависимости, показанной на рис. 4.4.5, позволяет сделать определенные количественные выводы. При росте числа базовых активов от нескольких десятков до сотни, изменчивость прибыли падает очень быстрыми темпами. Однако дальнейший рост числа базовых активов уже не приводит к существенному снижению изменчивости. Это означает, что если торговая стратегия основывается на создании больших сложных портфелей, содержащих комбинации на 100 и более базовых активов, то затраты времени и вычислительных ресурсов на поиск оптимального способа распределения капитала могут быть неоправданными. С другой стороны, если портфель содержит относительно мало базовых активов, то даже небольшое изменение их числа может кардинальным образом повлиять на прибыль, если была выбрана неоптимальная методика распределения капитала.

Analysis of Variance

Итак, мы установили, что степень влияния способа распределения капитала на реализовавшуюся прибыль зависит от трех факторов. Выше мы визуально исследовали каждый из этих трех факторов по отдельности. Поскольку все факторы оказывают одновременное воздействие на вариабельность прибыли, необходимо провести статистический анализ, учитывающий их одновременное влияние. Это даст возможность убедиться в том, что визуально установленные зависимости достоверны, а также позволит количественно выразить меру их влияния. Статистическим тестом, наиболее подходящим для этих целей, является множественная регрессия и Analysis of Variance (ANOVA). Эти тесты основываются на допущении, что зависимость между исследуемой переменной и каждой из независимых переменных линейна. В нашем случае это условие выполняется для двух из независимых переменных (рис. 3.4.4 и 3.4.5), но не выполняется для третьей (рис. 3.4.6). Поэтому прежде, чем приступить к статистическому анализу, необходимо преобразовать значения переменной «количество базовых активов» с помощью логарифмической трансформации (это позволит приблизить зависимость, представленную на рис. 4.4.5 к линейной форме).

Результаты построения множественной регрессии, приведенные в таблице 4.4.1, демонстрируют, что коэффициенты, выражающие влияние исторической волатильности, количества дней до экспирации и количества базовых активов, оказались статистически значимыми на очень высоком уровне достоверности. Вероятность того, что отличие расчетных значений этих коэффициентов от нуля было получено случайно, крайне низка (менее 0,1 %). Традиционные методы интерпретации множественной регрессии позволяют составить следующую формулу для прогноза изменчивости прибыли:

Стандартное отклонение = 893,11 + 14,67 × Волатильность – 376,4 × Log (Кол-во базовых активов) + 8,29 × Кол-во дней до экспирации

Следует относиться с большой осторожностью к интерпретации и использованию этой формулы. В частности, из таблицы 4.4.1 следует, что параметр intercept (значение, принимаемое зависимой переменной при условии, что значения всех независимых переменных равны нулю) является статистически значимым на высоком уровне достоверности (то есть его отличие от нуля неслучайно). Это означает, что стандартное отклонение прибыли портфелей при условии, что значения всех трех независимых переменных равны нулю, составляет 893,11 (величина intercept). Однако в исследуемом случае такая трактовка абсурдна, поскольку ни одна из трех переменных не может принимать нулевое значение. Следовательно, в данном случае экстраполяция абсолютно недопустима. Поэтому приведенный в таблице 4.4.1 анализ может использоваться не для прогноза степени вариабельности прибыли портфеля в зависимости от выбранного способа распределения капитала, а только для выявления статистической достоверности влияния каждого из анализируемых факторов.

Результаты ANOVA, представленные в таблице 4.4.1, подтверждают, что общая модель множественной регрессии также статистически достоверна на высоком уровне достоверности. Вместе с тем необходимо отметить, что значение коэффициента детерминации достаточно невелико (R² = 0,2). Это означает, что все три исследованных фактора объясняют лишь 20 % дисперсии зависимой переменной. Логично предположить, что оставшиеся 80 % дисперсии объясняются, помимо неизбежной случайной ошибки, многими факторами, составляющими суть торговой стратегии. Поэтому относительно небольшое значение коэффициента детерминации вполне объяснимо и не является удивительным.

4.4.2. Мера концентрации капитала в портфеле

В этом разделе мы сравним между собой различные показатели с точки зрения равномерности распределения капитала внутри портфеля. Предположим, что в соответствии с торговой стратегией имеется сумма M, выделенная на первом этапе реализации системы управления капиталом. Допустим, что существует n комбинаций – кандидатов на включение в портфель. В каждую из этих комбинаций может быть инвестирована доля w от капитала M. Теоретически могут существовать два предельных случая при распределении капитала. Вся сумма M может быть инвестирована в единственную комбинацию; при этом все прочие комбинации получают нулевую часть капитала (то есть вовсе не включаются в портфель). Другой предельный случай – это равномерное распределение средств, когда каждая комбинация получает одинаковую долю капитала равную M/n.

На практике оба эти сценария встречаются крайне редко. Обычно капитал распределяется неким промежуточным образом, когда потенциально более привлекательные комбинации получают больше капитала, чем менее привлекательные. Привлекательность определяется с помощью специальных показателей, семь из которых были подробно рассмотрены в разделах 4.3.1 и 4.3.2. Портфели, в которых большая часть капитала распределена между несколькими комбинациями, мы будем называть «концентрированными». А портфели, в которых доля капитала, инвестированного в разные комбинации приблизительно одинакова, будем называть «равномерными».

Степень концентрированности капитала является важным показателем для сравнения между собой различных способов распределения капитала. Дело в том, что уровень диверсификации портфеля чрезвычайно важен для управления и контроля рисков. Ранее мы оценивали диверсификацию портфеля по количеству базовых активов, включенных в его состав (рис. 4.4.5). Однако, даже если портфель состоит из комбинаций, относящихся к большому количеству базовых активов, он может тем не менее быть слабо диверсифицированным, если большая часть капитала сконцентрирована в комбинациях, относящихся к одному (или нескольким) активам. Если же капитал распределен более-менее равномерно между комбинациями, относящимися к разным базовым активам, то такой