абсолютна. Цена базового актива является далеко не единственным фактором, влияющим на стоимость опциона. Одним из основных факторов, определяющих стоимость опциона, является степень неопределенности относительно будущей цены базового актива (выражаемая обычно посредствам волатильности). Поэтому для двух акций, имеющих одинаковую стоимость (и совпадающих по другим параметрам), размер премии может быть разным. Следовательно, при прочих равных условиях комбинация с более высокой премией является более рискованной. Таким образом, получается, что более рискованные комбинации получают меньше капитала.

Эти рассуждения позволяют создать показатель, выражающий косвенным образом степень рискованности комбинации. Можно утверждать, что точки, расположенные ниже линии на рис. 4.3.1 соответствуют более рискованным комбинациям с более высокой премией. Количественно это можно выразить через отношение числа экземпляров комбинации, получаемого по формуле 4.3.2, к числу, получаемому по формуле 4.3.3. В результате получим показатель рискованности:

Из полученной формулы следует, что показатель рискованности равен произведению отношения премии j-й комбинации к цене j-й акции и среднего отношения цены базового актива к премии. Данный показатель обладает практичной размерностью – для более рискованных комбинаций (относительно всего портфеля) он больше единицы, а для менее рискованных комбинаций он меньше единицы. Если комбинация по своей рискованности приближается к средней рискованности портфеля, то этот показатель будет стремиться к единице. В приведенных выше примерах среднее отношение цены базового актива к премии составляет 17,5. Используя данные таблицы 4.3.1, можно показать, что для акции AA_riskiness = (0,74 / 10,01) × 17,5 = 1,28, а для акции IBM_riskiness = 0,77. Это означает, что комбинация, относящаяся к первой акции, более рискованна, чем комбинация, относящаяся ко второй.

Следует отметить, что показатель рискованности, рассчитываемый по формуле 4.3.4, может сам по себе использоваться для решения задачи распределения капитала, что позволит учитывать параллельно с премией и ценой акции еще и величину риска, ассоциированного с данной комбинацией. При этом необходимо оговориться, что данный показатель основывается на относительной дороговизне опционов, но не принимает в расчет степень ее обоснованность (с точки зрения исторической волатильности или ожидаемых новостей). Поэтому он не может претендовать на полное и всеобъемлющее выражение риска, а должен рассматриваться лишь как один из возможных инструментов решения задачи распределения капитала.

4.3.2. Показатели, выражающие оценку доходности и риска

Можно создать большое количество различных показателей, выражающих тем или иным образом оценку будущей доходности и прогноз рисков. Здесь мы ограничимся рассмотрением двух показателей доходности (математическое ожидание и вероятность прибыли) и трех показателей риска (дельта, коэффициент асимметрии и VaR).

В предыдущем разделе мы рассчитывали количество экземпляров каждой комбинации исходя непосредственно из параметров самой комбинации или ее базового актива. Применительно к показателям, оценивающим доходность и риск, предпочтителен (а во многих случаях и единственно возможен) более общий подход, основанный на распределении капитала с помощью набора весов. Для этого необходимо задать функцию j(С), вычисляемую для каждой комбинации C и принимающую неотрицательные действительные значения. Функцию φ(С) будем называть «весовой» функцией.

Весовая функция может применяться к двум типам показателей, которые мы будем условно называть «позитивными» и «негативными». Для позитивных показателей весовая функция φ(С) такова, что большие ее значения соответствуют более привлекательным комбинациям, а меньшие значения – менее привлекательным. К позитивным показателям относятся математическое ожидание и вероятность прибыли, а также все показатели, связанные с прогнозированием потенциала прибыльности. Для негативных показателей весовая функция φ(С) такова, что чем больше ее значение, тем менее привлекательна комбинация C. К негативным относится большинство показателей, оценивающих риск. Например, VaR, оценивающий размер убытка для заданной вероятности, принимает большие значения для более рискованных и, соответственно, менее привлекательных комбинаций.

Независимо от вида функции φ(С), вес j-й комбинации в составе портфеля определяется как:

Способ вычисления количества экземпляров комбинации C_j в портфеле зависит от подхода, применяемого на первом уровне системы управления капитала. Если капитал, выделяемый для инвестирования в опционный портфель, представляет собой объем средств, который потребуется в будущем при исполнении опционов, то такой капитал является суммарным эквивалентом портфеля M (см. описание в предыдущем разделе). В этом случае количество экземпляров комбинации может быть рассчитано по формуле

или, что то же самое, но с помощью константы μ:

Если выделяемый для инвестирования капитал F представляет собой суммарный объем инвестиций в опционный портфель (например, суммарный объем маржевых требований по всему портфелю), то количество экземпляров комбинации С_j определяется по формуле

В дальнейших исследованиях мы будем использовать подход, основанный на суммарном эквиваленте портфеля (формула 4.3.7).

Математическое ожидание и вероятность прибыли

Эти два показателя, рассчитываемые на основе заданного распределения, представляют собой критерии оценки опционных комбинаций. Для простоты мы будем использовать логнормальное распределение. Математическое ожидание прибыли, рассчитанное на основе логнормального распределения, будем обозначать EPLN. Вероятность получения прибыли, рассчитанную на основе логнормального распределения, будем обозначать PPLN. Подробное описание и алгоритмы расчета этих показателей приводятся в нашей книге «Опционы: системный подход к инвестициям».

Оба показателя являются позитивными – большие значения показателей соответствуют более привлекательным комбинациям. Весовая функция φ(С) для j-й комбинации принимает значение показателя, соответствующее этой комбинации. В таблице 4.3.2 показаны значения критериев и соответствующие им значения весов, рассчитанные с помощью формулы 4.3.5. Примеры, приведенные в таблице, используют те же опционные комбинации, которые рассматривались в разделе 4.3.1.

Для расчета количества экземпляров каждой комбинации в составе портфеля необходимо воспользоваться формулой 4.3.7. Для примера вычислим вес и количество экземпляров комбинации, относящейся к акции CAT, для случая когда капитал распределяется по критерию «математическое ожидание прибыли». Из таблицы 4.3.2 следует, что Σφ(C_i) = 0,1196. Используя данные таблицы 4.3.1 для цен акций, можно рассчитать ΣU_iφ(C_i) = 11,338. Принимая M = 1 000 000, получаем:

μ = 1000 000 × 0,1196: 11,338 = 10 550.

Учитывая, что для акции CAT φ(С₄) = 0,001, вычисляем вес w₄ = 0,001: 0,1196 = 0,0085 и число экземпляров комбинации. a₄ = 10 550 × 0,0085 = 89,78. Используя этот же алгоритм расчета, легко показать, что при распределении капитала по критерию «вероятность прибыли» вес данной комбинации составит w₄ = 0,472, а количество экземпляров a₄ = 580,01.

Дельта, асимметрия и VaR

Дельта опциона выражает чувствительность цены опциона к изменениям стоимости базового актива. Для опционов, относящихся к одному базовому активу, дельта является аддитивной величиной. Поэтому дельта комбинации равна сумме дельт отдельных опционов. Дельта опциона колл принимает значения от 0 до 1, а дельта пута находится в диапазоне от −1 до 0. Соответственно, для одного стрэддла дельта может принимать значения от −1 до 1. Поскольку в наших примерах рассматриваются портфели, состоящие только из коротких стрэддлов, нейтральность комбинаций к поведению базового актива является в целом благоприятным фактором. Это означает, что чем ближе дельта комбинации к нулю, тем менее рискованной является позиция. Следовательно, при распределении