капитала абсолютная величина дельты является «негативным» показателем. Поэтому мы зададим весовую функцию в следующем виде: φ(C) = 1 – |δ(C)|, где δ(C) – дельта комбинации C.

Коэффициент асимметрии является примером еще одного «негативного» показателя. Он представляет собой нормированную абсолютную разницу премии p опциона пут и премии c опциона колл, составляющих комбинацию C:

Идея данного показателя состоит в следующем. Торговые стратегии, основанные на коротких продажах опционных комбинаций, рассчитаны на то, что премия, полученная от продажи опционов, окажется больше, чем обязательства, возникающие в результате движения цены базового актива. Премия состоит из двух компонентов – временной и внутренней стоимости. Уже в момент открытия позиции внутренняя стоимость является будущим обязательством продавца опционов (исходя из нереалистичного, но на практике единственно возможного, допущения, что цена базового актива останется неизменной). Поэтому потенциал извлечения прибыли тем больше, чем меньше размер внутренней стоимости и чем больше величина временной стоимости. Это условие достигается при максимальном приближении страйка стрэддла к текущей цене базового актива. Чем более страйк удален от текущей цены, тем более асимметричной становится комбинация. Поскольку большие значения коэффициента асимметрии нежелательны для коротких стрэддлов, весовая функция будет иметь вид: φ(C) = 1 – A(C).

Value-At-Risk (VaR) представляет собой величину убытков, которые не будут превышены с заданной вероятностью (в наших примерах будем использовать вероятность 95 %). Для расчета VaR(C) сложных комбинаций и портфелей применяется метод моделирования Монте-Карло. Предполагая определенную форму распределения (в этом исследовании мы сделали допущение, что цена базового актива распределена логнормально, а дисперсия соответствующего нормального распределения доходностей равна квадрату исторической волатильности базового актива) производится моделирование траекторий будущих движений базового актива по торговым дням до момента экспирации. Подставляя полученные итоговые точки траекторий в платежную функцию комбинации, получаем смоделированное распределение ее значений на момент экспирации. Упорядочиваем его и отбрасываем 5 % худших значений. Среди оставшихся вариантов берем вариант с наименьшим значением платежной функции. Вычитая из него исходную премию комбинации, получаем оценку VaR(C) одной комбинации. Поскольку VaR выражает величину риска (комбинации с меньшим значением VaR предпочтительны), распределение капитала между ними логично производить обратно пропорционально этому показателю. Для распределения капитала между комбинациями обратно пропорционально их значениям VaR будем использовать весовую функцию φ(C) = 1: VaR(C).

В таблице 4.3.2 приведены значения весовых функций и соответствующих им весов для всех трех показателей риска. Кроме того, в этой таблице показаны значения коэффициента вариации весов (отношение стандартного отклонения к среднему) для каждой отдельно взятой акции и для каждого показателя. Среди акций наиболее высокий коэффициент вариации наблюдается для ORCL (0,93). Это означает, что среди всех 20 базовых активов объем капитала, инвестируемого в комбинацию ORCL, зависит в наибольшей степени от выбора показателя для распределения капитала. Действительно, из данных таблицы 4.3.2 следует, что если капитал распределяется по математическому ожиданию прибыли, то доля ORCL в общем портфеле составит менее 2 %. Если же для распределения капитала используется показатель VaR, то ORCL будет составлять 10 % портфеля. Наиболее низкий коэффициент вариации наблюдается для акции MSFT (0.17). Это означает, что среди всех базовых активов объем капитала, инвестируемого в MSFT, практически не зависит от выбора показателя. Какой бы показатель ни использовался для распределения капитала, доля MSFT в общем портфеле будет варьировать в очень узком диапазоне (от 5 до 7 %).

Сравнение коэффициентов вариации весов, рассчитанных для отдельных показателей, также дало интересные результаты. Наименее вариабельными оказались веса, полученные с помощью показателя «вероятность прибыли» (значение коэффициента 0,07, что на порядок ниже всех прочих). Это означает, что при использовании данного показателя, каждая акция получает примерно равную долю капитала. Следовательно, данный показатель мало применим для распределения капитала как минимум в тех условия и для той стратегии, что использовалась в наших примерах (это, однако, не означает, что он не может показать высокую эффективность при других обстоятельствах). На втором месте по вариабельности весов оказался показатель «математическое ожидание прибыли» (0,8), на третьем – дельта (0,13), на четвертом – коэффициент асимметрии (0,18), и самые вариабельные веса, причем с большим отрывом, были получены для показателя VaR (0,74). Примечательно то, что оба показателя, выражающие доходность, распределяют капитал внутри портфеля более равномерно (поскольку имеют более низкие значения коэффициента вариации), чем показатели, выражающие риск.

4.4. Одномерная система распределения капитала

4.4.1. Факторы, влияющие на распределение капитала по различным показателям

В этом разделе мы будем исследовать влияние различных факторов на распределение капитала с помощью различных показателей. Если в предыдущих разделах мы просто продемонстрировали технику формирования портфеля в заданный момент времени из ограниченного и заранее определенного количества комбинаций, то теперь мы рассмотрим функционирование полноценной торговой стратегии на длительном временном интервале.

Процесс формирования портфеля будем моделировать по исторической базе цен акций и их опционов за период 2002–2010 гг. В качестве базовых активов для построения опционных комбинаций будем использовать акции из списка S&P 500. Будем использовать дневные цены закрытия на акции и соответствующие им последние котировки спроса и предложения опционов (в качестве текущей цены опциона принимается середина спреда).

Обозначим через S = {s₁, s₂…, s_m} множество всех рассматриваемых акций. Двигаясь по истории из прошлого в будущее, будем каждый день T строить для каждой акции s_i из S множество опционных комбинаций по следующим правилам. Определим три ближайшие даты экспирации опционов. Для каждой даты экспирации, отстоящей от T на определенное количество торговых дней в будущее, возьмем множество всех опционов пут и колл на акцию s_i, имеющих страйки, удаленные от текущей цены акции не более чем на 10 %. Материалом для формирования портфеля будет множество коротких комбинаций типа стрэддл и стрэнгл, построенных с соблюдением следующих условий. При построении стрэнглов допускаются только те варианты, для которых страйк пута меньше страйка колла. Стрэддлы и стрэнглы состоят из равного числа опционов пут и колл.

В результате для каждого дня прошлого и каждой из трех ближайших экспираций получается широкий набор опционных комбинаций. Для каждой из них подсчитаем значение математического ожидания прибыли по логнормальному распределению. Выберем те комбинации, у которых значение этого критерия больше 1 % от объема инвестиций. Будем строить портфель из элементов этого множества путем распределения $100 000 (объем средств, выделенных на первом этапе процесса управления капиталом). Капитал будем распределять по одному из семи показателей, описанных в предыдущих разделах:

1) эквивалент позиции в акциях;

2) обратно пропорционально премии;

3) математическое ожидание прибыли на основе логнормального распределения;

4) вероятность получения прибыли на основе логнормального распределения;

5) дельта;

6) асимметрия;

7) VaR.

На дату экспирации будем фиксировать прибыль или убыток каждого портфеля.

Сравнительный анализ этих показателей будет фокусироваться на следующем вопросе: насколько портфели, сформированные с помощью различных показателей, отличаются друг от друга с точки зрения их доходности. Другими словами, в какой степени доходность портфеля зависит от показателя, с