где x_i – значение показателя для i-й комбинации,

x_min – значение показателя для комбинации с наименьшим значением показателя,

x_max – значение показателя для комбинации с наибольшим значением показателя.

В дальнейших рассуждениях мы будем полагать y_min = x_min, y_max = x_max. В этом случае, если принять степенной показатель в формуле 4.4.1 равным 1, то весовая функция приобретает вид f(x) = x_i, то есть превращается в простую линейную функцию. Для всех n > 1 данная функция является выпуклой (обозначим ее f+(x)), а для всех 0 < n < 1 эта функция будет вогнутой (обозначим ее f–(x)).

Рассмотрим примеры вычисления значений выпуклой и вогнутой весовых функций (для n = 2 и n = 0,5, соответственно) для показателя «математическое ожидание прибыли». Воспользуемся данными, приведенными в таблице 4.3.2, для портфеля, состоящего из 20 акций. Минимальное значение показателя равно 0,0003, а максимальное значение составляет 0,0191. Вычислим значение выпуклой весовой функций для акции AAPL:

Используя степенной показатель n = 0,5, получим для этой же акции значение вогнутой функции: f–(x) = 0,01373. Воспользовавшись формулой 4.3.5, можем рассчитать веса этой комбинации в составе портфеля. Если капитал будет распределяться по выпуклой функции, то вес комбинации AAPL составит 0,082, а если по вогнутой, то 0,072.

Вычислив аналогичным способом значения обеих функций для всех 20 акций, получим два варианта распределения капитала – по выпуклой и вогнутой весовым функциям. На левом графике рис. 4.4.8 показаны значения двух трансформированных весовых функций и оригинальной линейной функции, послужившей исходным материалом для их расчета. Особенностью выпуклой функции является то, что все ее значения (за исключением экстремумов) меньше, чем значения исходной линейной функции. Для вогнутой функции справедливым будет обратное утверждение – все ее значения (за исключением экстремумов) больше, чем значения исходной линейной функции.

Для наших целей крайне важными будут характеристики чувствительности трансформированных функций к изменениям исходной весовой функции. Ниже мы опишем свойства выпуклой и вогнутой функций по отдельности для низких и высоких значений ее аргумента (исходной, нетрансформированной функции). Эти описания базируются на визуальном анализе левого графика рис. 4.4.8, а также на производных функции 4.4.1. Полагая y_min = x_min, y_max = x_max, производные выпуклой (n = 2) и вогнутой (n = 0,5) функций имеют вид:

Выпуклая функция

На относительно высоких интервалах значений исходной функции приращение значений выпуклой функции больше, чем на низких интервалах значений исходной функции. Другими словами, разница в значениях трансформированной функции между комбинацией с наибольшим значением показателя и комбинацией со вторым по величине значением показателя больше, чем разница в значениях трансформированной функции между комбинацией со средним или низким значением показателя и комбинацией с предыдущим значением показателя. Кроме того, на высоких интервалах значений исходной функции приращение значений выпуклой функции больше, чем приращение значений самой исходной функции. Формально это можно выразить следующим образом. Обозначим через x(C_i) значение показателя i-й комбинации. Пусть портфель состоит из m комбинаций {C₁, C₂…, C_m}. Причем x(C_m) > x(C_m – 1), x(C_m – 1) > x(C_m – 2) и так далее. Тогда для выпуклой функции соблюдаются неравенства:

На низких интервалах значений исходной функции приращение значений выпуклой функции меньше, чем на высоких интервалах значений. Разница в значениях трансформированной функции между комбинацией со вторым по величине значением показателя и комбинацией с первым (самым низким) значением показателя меньше, чем разница в значениях трансформированной функции между комбинацией со средним или высоким значением показателя и комбинацией с предыдущим значением показателя. Кроме того, на низких интервалах значений исходной функции приращение значений выпуклой функции меньше, чем приращение значений самой исходной функции. Формально это можно выразить следующими неравенствами:

Вогнутая функция

На высоких интервалах значений исходной функции приращение значений вогнутой функции меньше, чем на низких интервалах значений исходной функции. Другими словами, разница в значениях трансформированной функции между комбинацией с наибольшим значением показателя и комбинацией со вторым по величине значением показателя меньше, чем разница в значениях трансформированной функции между комбинацией со средним или низким значением показателя и комбинацией с предыдущим значением показателя. Кроме того, на высоких интервалах значений исходной функции приращение значений вогнутой функции меньше, чем приращение значений самой исходной функции. Формально это можно выразить следующим образом:

На низких интервалах значений исходной функции приращение значений вогнутой функции больше, чем на высоких интервалах значений. Разница в значениях трансформированной функции между комбинацией со вторым по величине значением показателя и комбинацией с первым (самым низким) значением показателя больше, чем разница в значениях трансформированной функции между комбинацией со средним или высоким значением показателя и комбинацией с предыдущим значением показателя. Кроме того, на низких интервалах значений исходной функции приращение значений вогнутой функции больше, чем приращение значений самой исходной функции. Формально это можно выразить следующими неравенствами:

Расчет весов по трансформированным весовым функциям

В тот момент, когда все значения трансформированной функции определены, расчет весов производится по формуле 4.3.5. Правый график рис. 4.4.8 показывает веса, рассчитанные по весовым функциям, представленным на левом графике этого рисунка (данные взяты из таблицы 4.3.2; исходная весовая функция – показатель «математическое ожидание прибыли»; выпуклая и вогнутая функции рассчитаны по формуле 4.4.1 при n = 2 и n = 0,5 соответственно). Прямая линия на графике демонстрирует веса, соответствующие нетрансформированной весовой функции.

Из графика следует, что при распределении капитала по выпуклой функции четыре комбинации с наибольшими значениями показателя имеют больший вес, чем при формировании портфеля по исходной весовой функции (эти комбинации располагаются в интервале высоких значений исходной функции, где кривая выпуклой функции проходит над прямой линией, соответствующей исходной функции). Для одной из комбинаций веса, полученные по выпуклой и исходной функциям, совпадают (эта комбинация располагается в точке пересечения исходной и выпуклой функции). Остальные комбинации при распределении капитала по выпуклой функции имеют меньший вес, чем при формировании портфеля по исходной функции (эти комбинации располагаются в интервале низких значений исходной функции, где кривая выпуклой функции проходит ниже линии исходной функции).

В том случае, когда капитал распределялся по вогнутой функции, пять комбинаций с наибольшими значениями показателя имеют меньший вес, чем при формировании портфеля по исходной функции (эти комбинации располагаются в интервале высоких значений исходной функции, где кривая вогнутой функции проходит под прямой линией, соответствующей исходной функции). Остальные 15 комбинаций имеют меньший вес, чем при формировании портфеля по исходной функции (эти комбинации располагаются в интервале низких значений исходной функции, где кривая вогнутой функции проходит выше линии исходной функции).

Из приведенного описания следует важный вывод: портфели, создаваемые с помощью выпуклой функции, представляют более агрессивный подход к распределению капитала, поскольку комбинации с высокими значениями показателя получают непропорционально больше капитала (а комбинации с низкими значениями – непропорционально меньше), чем при формировании портфеля по