Если построить график платежной функции портфеля, отложив по оси X значения индекса, а по оси Y стоимость портфеля, то Asym можно представить как модуль коэффициента наклона прямой, соединяющей две точки графика с абсциссами X = I(1 + δ) и X = I(1 − δ). Чем больше величина коэффициента отклоняется от нуля, тем более асимметрична платежная функция (если коэффициент равен нулю, то платежная функция портфеля полностью симметрична).
В таблице 3.2.3 приведены данные, необходимые для расчета коэффициента асимметрии портфеля, состоящего из 10 коротких стрэддлов (для простоты предположим, что количество каждого опциона в портфеле равно единице xi = 1). Например, цена акции ED при β = 0,23 и росте индекса на 10 % (δ = 0,1) будет равна 37,92(1 + 0,23 × 0,1) = $38,79. Подставляя это значение в формулу Блэка−Шоулза вместо текущей цены акции, находим, что стоимость опциона колл равна $1,89, а стоимость пут $3,06. Определив таким образом стоимости всех опционов, суммируем их и находим, что в случае роста индекса стоимость портфеля составит $46,66, а в случае падения – $31,46. Подставляя эти данные в формулу 3.2.7 и учитывая, что значение индекса S&P 500 на дату создания портфеля было 954,58, находим:
3.2.4. Вероятность убытка
Вероятность того, что на дату истечения опционов портфель окажется убыточным, рассчитывается методом Монте-Карло. Для каждого опциона в портфеле производится генерация случайной цены его базового актива на определенный момент времени в будущем (для простоты мы будем генерировать цены на дату экспирации). Далее вычисляются прибыли и убытки опционов для полученных цен акций. Сумма полученных значений дает оценку прибыли/убытка портфеля. Описанный цикл представляет собой одну итерацию. Многократно повторяя итерации для одного и того же портфеля, можно получить достоверную оценку многих его характеристик.
В таблице 3.2.4 приведен пример двух итераций для портфеля, использованного ранее в таблице 3.2.3. Цены акций генерировались, используя логнормальное распределение с волатильностью, равной исторической волатильности, рассчитанной на периоде 120 торговых дней. При моделировании учитывались взаимные корреляции цен акций, рассчитанные на том же историческом периоде. Первая итерация для акции EIX сгенерировала цену $31,04, что подразумевает прибыль в размере $0,70 (30 + 1,74 – 31,04), зато вторая итерация для этой же акции дала убыток в размере $1,28. Для портфеля в целом первая итерация оказалась убыточной, а вторая – прибыльной (таблица 3.2.4).
Полный набор итераций для одного портфеля называется симуляцией (в своих расчетах мы использовали 20 000 итераций для каждой симуляции). Отношение числа убыточных итераций к общему числу итераций в симуляции дает оценку вероятности убытка портфеля. Например, если из 20 000 итераций 7420 были убыточными, то вероятность того, что данный портфель действительно окажется убыточным, составляет 0,37.
3.3. Взаимозависимость индикаторов риска
Эффективная система управления рисками должна включать в себя несколько альтернативных индикаторов, рассчитываемых на основе разных базовых принципов. Область их применения может включать не только создание портфеля, его оценку и реструктуризацию, но и генерацию сигналов на закрытие позиций. Разные индикаторы риска должны быть уникальны и взаимонезависимы (то есть они не должны коррелировать между собой). Необходимо подобрать такой набор уникальных индикаторов, чтобы каждый из них дополнял информацию, содержащуюся в других индикаторах, а не дублировал ее. В этом разделе мы исследуем взаимозависимость между четырьмя индикаторами риска.
3.3.1. Методика тестирования взаимозависимости индикаторов риска
Мы исходим из предположения, что если различные индикаторы риска являются уникальными (дополняют, а не дублируют информацию, содержащуюся в других индикаторах), то доходности портфелей, созданных на их основе, не будут коррелировать между собой.
Для тестирования взаимозависимости показателей риска использовалась база данных, содержащая цены опционов и их базовых активов в период с января 2003 по август 2009 г. На каждую дату истечения опционов было сформировано по 1000 портфелей, отстоящих от данной экспирации на разное количество дней (от 1 до 60). Таким образом, каждому количеству дней до заданной экспирации соответствовало 1000 портфелей, всего 60 000 портфелей для каждой даты экспирации.
Для каждого из 1000 портфелей рассчитывались значения четырех показателей риска, после чего для каждого показателя выбирался наилучший портфель (таким образом, всего выбиралось по четыре портфеля из каждой 1000). Для выбранных портфелей фиксировалась доходность на дату экспирации. Доходность выражалась как прибыль (или убыток), нормированная на размер инвестиции и на время нахождения в позиции.
Каждый портфель состоял из 10 коротких стрэддлов на базовые активы, выбранные случайным образом из списка S&P 100. Страйк стрэддлов выбирался по принципу наименьшей удаленности от текущей цены базового актива. Объем позиции по каждому стрэддлу определялся как округленное до лотов (1 лот = 100 опционов) частное от деления 100 000/x, где x – цена акции.
3.3.2. Корреляционный анализ
Как и ожидалось, доходности портфелей, сформированных на основании четырех показателей риска, взаимозависимы. Однако, за единственным исключением, корреляции оказались достаточно низкими – для пяти из шести случаев квадрат коэффициента корреляции находился в диапазоне от 0,3 до 0,4 (рис. 3.3.1). Эти данные указывают на то, что информация, содержащаяся в исследуемых индикаторах риска, дублируется лишь на 30–40 %. Соответственно, можно заключить, что введение дополнительного показателя привносит в систему оценки риска (основанную на единственном показателе) порядка 60–70 % новой информации. Исключение составляет одна пара индикаторов, VaR и вероятность убытка. Их высокую скоррелированность можно интерпретировать как свидетельство близости идей, заложенных в расчетные алгоритмы этих двух показателей. Соответственно, совместное использование данных индикаторов нецелесообразно, поскольку не добавит в систему достаточный объем новой информации.
Является ли взаимозависимость индикаторов риска величиной абсолютной или она может варьироваться в зависимости от определенных факторов? Для ответа на этот вопрос мы исследовали два возможных фактора – интервал времени от момента создания портфеля до экспирации и уровень волатильности рынка в момент формирования портфеля.
В пределах одного торгового дня меру взаимозависимости показателей риска можно выразить через дисперсию доходностей четырех портфелей, отобранных с помощью этих показателей. Чем больше корреляция индикаторов риска, тем меньше дисперсия доходностей соответствующих им портфелей. (При максимально возможной скоррелированности показателей каждый из них выбирает один и тот же портфель. В этом случае дисперсия равна нулю).
Рис. 3.3.2. демонстрирует явно выраженную обратную зависимость дисперсии от количества дней, остающихся до истечения опционов. Это означает, что вблизи экспирации показатели риска являются слабо коррелированными и, следовательно, все они (или по крайней мере некоторые из них) обладают существенным объемом дополнительной информации, не содержащейся в других индикаторах. С другой стороны, дисперсия доходности портфелей формируемых задолго до экспирации, оказалась достаточно низкой (рис. 3.3.2), что указывает на сильную взаимозависимость показателей риска в этот период.
Рыночная волатильность также оказывает влияние
