Изменение стоимости портфеля равно:

а ожидаемое процентное изменение стоимости портфеля оказалось равным:

Разность реализовавшегося и ожидаемого изменений стоимости портфеля в этом случае была намного большей и составила:

что указывает на существенную переоцененность риска. Аналогичным образом были рассчитаны все 90 портфелей. Риск каждого из них оценивался ежедневно в течение всех 50 дней существования портфеля. Эффективность этих оценок тестировалась на всех горизонтах от одного до 49 дней.

Взаимозависимость показателей прогнозируемого и реализовавшегося риска дает наглядное представление о степени эффективности индексной дельты. Рис. 3.2.3 демонстрирует такую зависимость для начального этапа существования портфелей (с 50-го по 40-й день до экспирации). Наибольшая корреляция обнаружена для однодневного горизонта тестирования. В этом случае «размытость» облака точек оказалась наименьшей (коэффициент корреляции R² = 0,29 наибольший). Удлинение горизонта тестирования до 5, 10 и 20 дней привело к постепенной деградации качества прогноза. Визуальный анализ рис. 3.2.3 показывает, что чем больше был горизонт тестирования, тем слабее становилась зависимость между прогнозом и результатом вплоть до полного исчезновения всякой зависимости (для 20 дней R² = 0,04). Кроме того, увеличение горизонта тестирования сопровождалось уменьшением угла наклона соответствующей регрессии. Это также свидетельствует об ухудшении прогнозных качеств индексной дельты на больших горизонтах тестирования.

Регрессионный анализ, представленный на рис. 3.2.3, является наиболее простым и интуитивно понятным средством качественной оценки индексной дельты. Вместе с тем он не дает строгого количественного выражения эффективности этого индикатора риска. Для этих целей лучше подходит средняя разность реализовавшихся и ожидаемых изменений стоимости портфеля. Поскольку убыток коротких портфелей возникает в тех случаях, когда их стоимость возрастает P^%_realized > 0, положительные разности (P^%_realized > P^%_expected) свидетельствуют о том, что оценка риска с помощью индексной дельты занижена (то есть риск недооценен). Соответственно, отрицательные разности означают, что реальные изменения стоимости портфеля меньше ожидавшихся (то есть риск переоценен).

На рис. 3.2.4 показаны средние разности и стандартные ошибки (выражающие меру изменчивости результатов) для разных горизонтов тестирования. Для наиболее эффективного однодневного горизонта тестирования отклонения реально произошедших изменений стоимости портфелей от прогнозных значений были близки к нулю на всем периоде от создания портфелей до приблизительно 20-го дня до экспирации. После 20-го дня чем ближе портфель приближался к дате экспирации, тем более недооцененным оказывался риск. Таким образом, индексная дельта позволяет достаточно точно прогнозировать риск, но на весьма короткий промежуток времени (один день) и только на раннем и среднем этапах существования портфеля (в течение 30 рабочих дней с момента его формирования). Пятидневный горизонт тестирования дал похожие результаты, с той разницей, что в этом случае недооценка риска начала возникать уже с 30-го дня до экспирации и достигла более высоких значений. Дальнейшее увеличение горизонта тестирования способствовало еще большему усилению этих тенденций – недооценка риска начиналась раньше и достигала больших значений (рис. 3.2.4). Кроме того, легко заметить, что для коротких горизонтов тестирования зависимость между разностью и количеством дней до экспирации является нелинейной. В то же время для больших горизонтов тестирования эта зависимость постепенно становится линейной и все более «крутой». В данном случае крутизна наклона линии регрессии характеризует скорость деградации прогноза по мере приближения даты истечения опционов.

Полную информацию об эффективности индексной дельты и характере ее зависимости от двух исследуемых параметров (момента оценки и горизонта тестирования) дает представление данных в виде топографической карты. В двумерной системе координат будем откладывать по горизонтальной оси количество дней, остающихся до экспирации, а по вертикальной – горизонт тестирования. С помощью разных оттенков изобразим изолинии, отражающие средние разности реализовавшихся и ожидаемых изменений стоимости портфелей. Топография такой поверхности показана на рис. 3.2.5. Легко заметить, что область высокой эффективности индексной дельты располагается в правом нижнем углу диаграммы (показана на рисунке пунктирной линией). В целом можно заключить, что (1) индексная дельта позволяет довольно точно оценивать риск в первые 25–30 дней с момента создания портфеля; (2) эффективность этих оценок сохраняется в течение 20–25 дней с момента оценки. Треугольная форма зоны высокой эффективности указывает на то, что, с одной стороны, по мере приближения экспирации необходимо снижать горизонт прогнозирования. С другой стороны, использование больших горизонтов прогнозирования возможно лишь на начальном этапе существования портфеля.

Применимость индексной дельты

Оценка риска сложно-структурированного опционного портфеля с помощью индексной дельты достаточно эффективна на ранних этапах существования портфеля, однако снижается по мере его «старения» и приближения даты экспирации. Являясь величиной локальной, индексная дельта способна качественно прогнозировать риск лишь на относительно короткие промежутки времени. Существует прямая зависимость между количеством дней, остающихся до экспирации, и горизонтом прогнозирования – чем ближе экспирация, тем короче должны быть горизонты прогнозирования. В противном случае риск может оказаться существенно недооценен.

Поскольку все результаты, полученные в настоящем исследовании, были достаточно стабильны (имели низкую стандартную ошибку, см. рис. 3.2.4), проблема недооценки риска может решаться путем введения поправочных коэффициентов. Значения коэффициентов можно получать методом построения диаграммы, аналогичной представленной на рис. 3.2.5. Необходимо лишь оптимизировать глубину исторического периода и правильно подобрать значения других параметров, используемых при построении диаграммы.

3.2.3. Коэффициент асимметрии

Этот показатель выражает меру асимметричности платежной функции портфеля относительно определенного индекса (например, S&P 500). Основная идея состоит в том, что большинство стратегий, связанных с продажей непокрытых опционов, базируется на принципе маркет-нейтральности. Если портфель действительно нейтрален по отношению к рынку, то его платежная функция будет симметричной – это означает, что как при росте, так и при падении рынка стоимость портфеля будет изменяться приблизительно одинаково (разумеется, при равных величинах роста и падения). Если же нейтральность нарушена, то платежная функция будет смещенной относительно текущего значения индекса, а коэффициент асимметричности будет выражать меру этого смещения.

Поскольку стоимость портфеля P равна сумме стоимостей входящих в его состав опционов, то зависимость стоимости портфеля от изменений индекса I можно выразить суммой:

где O_i – стоимость i-го опциона, δ – относительное изменение индекса (например, δ = 0,12 означает, что индекс вырос или упал на 12 %), другие символы имеют тот же смысл, что и в предыдущих разделах. Зависимость A_i от I × δ и можно выразить с помощью беты β_i, которая представляет собой коэффициент линейной регрессии доходностей базового актива и доходностей индекса. Зная бету, можно приблизительно определить стоимость базового актива при условии, что индекс изменится на заданную величину:

Используя модель Блэка−Шоулза, можно вычислить стоимости всех входящих в портфель опционов при условии, что цены их базовых активов равны значениям, рассчитанным по формуле 3.2.6. Суммируя полученные значения, получаем стоимость портфеля, соответствующую формуле 3.2.5. Нам необходимо рассчитать две стоимости портфеля – для случая роста индекса на величину I × δ и для случая