изменения стоимости портфеля больше, чем ожидалось). Это означает, что оценка риска с помощью индексной дельты для этих портфелей была заниженной, то есть риск оказался недооценен (поскольку убыток коротких портфелей возникает в тех случаях, когда их стоимость возрастает (P^%_realized > 0)). Соответственно, отрицательное значение разности означает, что реальные изменения стоимости портфеля оказались меньше, чем ожидалось (то есть риск был переоценен). Поскольку стандартные ошибки портфелей, созданных задолго до экспирации, далеко заходят как в отрицательную, так и в положительную область (рис. 3.2.1), можно заключить, что многие из них были переоценены и многие – недооценены.

В целом можно сделать вывод, что в момент создания портфеля чем больше срок до даты истечения опционов, тем более точно (в среднем) оценивается риск. Вместе с тем вероятность ошибочных оценок также возрастает. Для портфелей, создаваемых вблизи экспирации, оценка риска оказывается заниженной, однако величина занижения является достаточно стабильной (вероятность ошибки мала). В первом случае можно добиться повышения эффективности использования индексной дельты путем введения дополнительных показателей риска. Во втором случае, поскольку изменчивость результатов невелика, можно ограничиться введением поправочных коэффициентов.

Известно, что дельта является локальной величиной, оценивающей изменение стоимости опциона при небольшом изменении цены его базового актива. Это означает, что чем больше реально произошедшее изменение цены базового актива, тем менее точен прогноз изменения стоимости опциона, основанный на дельте. Исследуем, справедливо ли данное утверждение для индексной дельты и насколько ухудшается эффективность ее прогноза при больших изменениях индекса. Для этого рассмотрим зависимость разностей между реализовавшимися и ожидаемыми изменениями стоимости портфеля от процентного изменения индекса.

Из рис. 3.2.2 следует, что большие движения индекса действительно сопровождаются весьма серьезными отклонениями реальных изменений стоимости портфелей от прогнозных значений. Это наблюдение справедливо как для случаев роста индекса (белые точки на рис. 3.2.2), так и для случаев его падения (черные точки). Следует также отметить, что в тех случаях, когда индекс снижался, корреляция между разностью и изменением индекса была выше, чем когда индекс рос.

Для оценки эффективности индексной дельты наибольший интерес представляет тот факт, что большим движениям индекса (будь то рост или падение) соответствуют только положительные разности, в то время как малым – в основном отрицательные (рис. 3.2.2). Это говорит о том, что при больших движениях рынка индексная дельта недооценивает риск, а при малых – переоценивает. В тех же случаях, когда амплитуда колебаний рынка находится в пределах 3–5 % (в сторону роста или понижения), индексная дельта демонстрирует наибольшую эффективность.

В предыдущем исследовании мы ограничились случаями, когда риск оценивается только один раз – в момент создания портфеля. Эффективность этой оценки тестировалась также единожды – на дату истечения входящих в состав портфеля опционов (предполагается, что все опционы истекают одновременно). Теперь мы исследуем ситуации, когда риск оценивается регулярно в течение всего периода существования портфеля, а эффективность оценки тестируется на разных временных интервалах.

Мы будем оценивать эффективность индексной дельты так же, как в предыдущем исследовании (путем сравнения оценки риска, выраженного через индексную дельту, со значениями, реализовавшимися на практике). Чтобы проанализировать качество прогноза на разных этапах существования портфеля, следует (1) вычислять значения индексной дельты каждый день на протяжении всего инвестиционного периода и (2) оценивать изменения стоимости портфеля в течение разных периодов времени (будем называть их горизонтами тестирования или прогнозирования). Необходимо протестировать все периоды от первого дня до максимально возможного (49 дней в нашем исследовании). Эти данные позволят всесторонне оценить расхождения между прогнозами и реальностью.

Для каждой даты экспирации был сформирован портфель, состоящий из коротких стрэддлов для всех 500 акций, входящих в S&P 500. Момент создания каждого портфеля отстоял от даты истечения формирующих его опционов на 50 торговых дней. Всего было создано 90 таких портфелей. Страйк стрэддлов выбирался по принципу наименьшей удаленности от текущей цены базового актива. Объем позиции по каждому стрэддлу рассчитывался как округленная до лотов (1 лот = 100 опционов) величина, где U – цена акции, являющейся базовым активом для данного стрэддла.

В таблице 3.2.2 представлен пример такого портфеля и показана эволюция его показателей. В момент создания портфеля (7 августа 2008 г., первая строка таблицы) оставалось 50 рабочих дней до даты экспирации опционов (17 октября 2008 г.). Во второй строке таблицы приведены характеристики этого же портфеля на следующий день после его создания, в третьей строке – на третий день и т. д. вплоть до экспирации (в целях экономии места в таблице 3.2.2 показаны только первые 20 дней существования портфеля).

В таблице приводятся значения следующих показателей, необходимых для оценки разности между прогнозным и реализовавшимся значением риска.

• Количество дней, остающихся до экспирации t (используется для индексирования моментов оценки и тестирования).

• Рыночная стоимость портфеля P_i на момент оценки t; вычисляется как сумма стоимостей всех входящих в состав портфеля опционов.

• Индексная дельта D_i, рассчитанная на момент t с помощью формулы (3.2.1).

• Процентная индексная дельта D^%_t = I_t D_t / 100, рассчитанная на момент t; прогнозирует изменение стоимости портфеля при изменении индекса на 1 %.

• Значение индекса I_t на момент оценки t и процентное изменение индекса I^% = 100(I_t−j − I_t) / It − где I_t−j – значение индекса на момент тестирования; j выражает количество дней между двумя датами t и t-j и является горизонтом тестирования.

• Процентное изменение стоимости портфеля P^%_realized = 100(P_t−j − P_t) / P_t, где P_t – рыночная стоимость портфеля на момент оценки t, P_t−j – стоимость портфеля на момент тестирования. Этот показатель выражает изменение стоимости портфеля, произошедшее в течении j дней, и является, по сути, риском портфеля, реализовавшимся на определенном горизонте тестирования. Напомним, что рост стоимости опционов короткого портфеля (то есть положительное изменение его стоимости) приносит убыток, а снижение их стоимости дает прибыль.

• Ожидаемое процентное изменение стоимости портфеля P^%_expected = 100 I^%D^%_Portfolio / P_t. Этот показатель выражает оценку риска сложноструктурированного портфеля при условии, что в течении j дней индекс изменится на величину I^%.

• Разность реализовавшегося изменения стоимости портфеля Difference = P^%_realized − P^%_expected и ожидаемого изменения стоимости портфеля. Положительные значения разности указывают на недооценку риска индексной дельтой; отрицательные разности свидетельствуют о переоценке риска. Соответственно, чем ближе к нулю этот показатель, тем точнее индексная дельта позволяет прогнозировать будущие колебания стоимости портфеля.

В таблице 3.2.2 приведены расчеты для двух горизонтов тестирования – один и пять дней. Возьмем для примера 41-й день до экспирации (t = 41, выделено серым цветом в таблице) и проделаем поэтапно все вычисления, необходимые для оценки разности между прогнозируемым и реализовавшимся риском. Индексная дельта в этот день оценки равна:

Для горизонта тестирования j = 1 процентное изменение индекса составляет:

Процентное изменение стоимости портфеля равно:

а ожидаемое процентное изменение стоимости портфеля составляет:

Разность реализовавшегося и ожидаемого изменений стоимости портфеля равна:

что указывает