правило, которое кажется очевидным и заключается в следующем:

если m + k = n + k, то m = n.

Прежде всего, пусть

m + k = n + k.

Аксиома 6 гарантирует, что существует число l, такое, что k+l=0, поэтому

(m + k) + l = (n + k) + l.

Но по аксиоме 2

m + (k + l) = n + (k + l).

Принимая во внимание, что k+l=0, получаем:

m + 0 = n + 0.

Аксиома 4 позволяет нам утверждать то, что требовалось доказать, а именно:

m = n.

Однажды утром м-р Блэк, м-р Грей и м-р Уайт вздумали решить конфликт труэлью на пистолетах. Стрелять условились до тех пор, пока в живых не останется только один из участников. М-р Блэк стрелял хуже всех. В цель он попадал в среднем лишь один раз из трех. М-р Уайт стрелял лучше всех — без промаха. Чтобы уравнять шансы участников труэли, м-ру Блэку разрешено стрелять первым, за ним должен стрелять м-р Грей (если он останется в живых), затем мог стрелять м-р Уайт (если он еще будет жив). Далее все начиналось снова, и так до тех пор, пока в живых не останется только один из участников труэли. Вопрос: в кого должен выстрелить м-р Блэк, производя свой первый выстрел?

Проанализируем выбор цели, который предстоит сделать мистеру Блэку. Во-первых, если мистер Блэк стреляет в мистера Грея и попадает в цель, то право следующего выстрела перейдет к мистеру Уайту. У мистера Уайта останется единственный противник — мистер Блэк, а поскольку мистер Уайт стреляет без промаха, то мистер Блэк может считать себя покойником.

Для мистера Блэка лучше, если он прицелится в мистера Уайта. Если мистер Блэк попадает в цель, то право следующего выстрела перейдет к мистеру Грею. Мистер Грей попадает в цель только в двух случаях из трех, поэтому у мистера Блэка есть шанс остаться в живых, произвести ответный выстрел в мистера Грея и, возможно, выиграть труэль.

На первый взгляд кажется, что мистеру Блэку следует остановить свой выбор на втором варианте труэли. Однако существует третий, еще лучший выбор. Мистер Блэк может выстрелить в воздух. Право следующего выстрела переходит к мистеру Грею, который стреляет в мистера Уайта как более опасного оппонента. Если мистер Уайт остается в живых, то он стреляет в мистера Грея как более опасного противника. Стреляя в воздух, мистер Блэк предоставляет мистеру Грею исключить мистера Уайта.

Третий вариант — наилучшая стратегия для мистера Блэка. Мистер Грей или мистер Уайт в конечном счете погибает, после чего мистер Блэк стреляет в того из них, кто остается жив. Выстрелом в воздух мистер Блэк изменяет ситуацию: вместо первого выстрела в труэли он производит первый выстрел в дуэли.

В математике важно иметь точные формулы, позволяющие вычислять сумму различных последовательностей чисел. В данном случае мы хотим вывести формулу, дающую сумму первых n натуральных чисел.

Например, «сумма» всего лишь одного первого натурального числа 1 равна 1; сумма двух первых натуральных чисел 1+2 равна 3, сумма первых трех натуральных чисел 1+2+3 равна 6, сумма первых четырех натуральных чисел 1+2+3+4 равна 10 и т. д.

Возможно, что требуемая формула имеет вид

?(n) = ?·n(n + 1).

Иначе говоря, если требуется найти сумму n первых натуральных чисел, то нужно просто подставить число n в приведенную выше формулу и получить ответ.

Доказательство по индукции позволяет убедиться в том, что эта формула дает правильный ответ при любом натуральном числе от 1 до бесконечности. Первый шаг состоит в том, чтобы показать, что формула работает в первом случае, при n=1. В этом нетрудно убедиться непосредственно, так как мы знаем, что сумма, состоящая из одного-единственного слагаемого, числа 1, равна 1. Подставляя n=1 в нашу формулу убеждаемся в том, что она дает правильный результат:

?(1) = ?·1·(1 + 1).

Следующий шаг в доказательстве по индукции заключается в том, чтобы показать, что если формула верна при каком-то значении n, то она должна быть верна и при n+1. Если

?(n) = ?·n(n + 1).

то

?(n + 1) = ?(n) + (n + 1) = ?·n(n + 1) + (n + 1).

После преобразования членов в правой части получаем

?(n + 1) = ?·(n + 1)[(n + 1) + 1].

Важно отметить, что последняя формула «устроена» точно так же, как исходная формула с той лишь разницей, что там, где в исходной формуле стоит n, в новой формуле стоит n+1. Иначе говоря, если формула верна для n, то она должна быть верна и для n+1. Доказательство по индукции завершено.

При создании книги я опирался на многие книги и статьи. Помимо тех источников, которыми я пользовался при написании каждой главы, мною указаны материалы, которые могут представить интерес как для обычного читателя, так и для специалиста. В тех случаях, когда заголовок источника не позволяет судить о том, какое отношение данный источник имеет к теме книги, я счел возможным пояснить содержание источника одной или двумя фразами.

1 Bell Е. Т. The Last Problem. — Mathematical Association of America, 1990.

История классического периода поисков доказательства Великой теоремы Ферма в популярном изложении.

2 Ralph L. Pythagoras — A Short Account of His Life and Philosophy. — Krikos, 1961.

3 German P. Pythagoras — A Life. — Routledge and Paul Kegan, 1979.

4 Heath Th. A History of Greek Mathematics. Vol. 1, 2. — Dover, 1981.