Цель Евклида состояла в доказательстве того, что число v2 не представимо в виде дроби. Поскольку Евклид использовал доказательство от противного, первый шаг состоял в предположении, что верно противоположное утверждение, т. е. что число v2 представимо в виде некоторой неизвестной дроби. Запишем эту дробь в виде p/q, где p и q — два целых числа.

Прежде чем приступать к самому доказательству, необходимо напомнить некоторые основные свойства дробей и четных чисел.

1) Если взять любое число и умножить его на 2, то произведение должно быть четным. По существу, это определение четного числа.

2) Если квадрат некоторого числа четен, то и само число должно быть четным.

3) Наконец, дроби можно сокращать: 16/24 это то же самое число, что и 8/12. Чтобы убедиться в этом разделите числитель и знаменатель дроби 16/24 на общий множитель 2. Кроме того, число 8/12 это же самое, что и 4/6, а 4/6 это же самое, что и 2/3. Дробь 2/3 не подлежит дальнейшему сокращению, так как 2 и 3 не имеют общих множителей. Дробь невозможно сокращать до бесконечности.

Обозначим продолжительность жизни Диофанта через L. Из загадки нам известно, как протекала жизнь Диофанта: 1/6 жизни, т. е. L/6, пришлась на его детство; L/12 — на юношеские годы; L/7 прошла прежде, чем он женился; через 5 лет у него родился сын; сын прожил L/2 жизни отца; 4 года Диофант оплакивал смерть сына прежде, чем умер.

Таким образом, продолжительность жизни Диофанта L можно записать в виде суммы:

L = L/6 + L/12 + L/7 + 5 + L/2 + 4.

Отсюда L = 84. Итак, Диофант умер в возрасте 84 лет.

Чтобы взвесить любое целое число килограммов от 1 до 40, по мнению большинства людей необходимо иметь 6 гирь: 1, 2, 4, 8, 16 и 32 кг. Действительно, такой набор гирь позволяет взвесить любой груз от 1 до 40 кг, помещая его на одну чашу весов и ставя на другую следующие комбинации гирь:

1 кг = 1, 2 кг = 2, 3 кг = 2 + 1, 4 кг = 4, …, 5 кг = 4 + 1, …, 40 кг = 32 + 8.

Но грузы можно взвешивать и по-другому, а именно: располагая гири на обеих чашах весов, т. е. не только на чаше, свободной в начале взвешивания, но и на чаше с грузом. При таком способе взвешивания Баше понадобились только 4 гири: 1, 3, 9 и 27 кг. Гиря, помещаемая на одну чашу с грузом, как бы приобретает отрицательный вес. Способ Баше позволяет взвесить любой груз от 1 до 40 кг, ставя гири на обе чаши весов в следующих комбинациях:

1 кг = 1, 2 кг = 3–1, 3 кг = 3, 4 кг = 3 + 1, 5 кг = 9–3 — 1, …, 40 кг = 27 + 9 + 3 + 1.

Пифагоровой тройкой называется такой набор из трех целых чисел, что сумма квадратов двух из них равна квадрату третьего числа. Евклид сумел доказать, что существует бесконечно много таких пифагоровых троек.

Предложенное Евклидом доказательство начинается с наблюдения: разность квадратов последовательных целых чисел всегда равна какому-нибудь нечетному числу:

Прибавив каждое из бесконечного множества нечетных чисел к соответствующему квадрату, мы получим другой квадрат. Некоторые нечетные числа, составляющие часть всех нечетных чисел, сами