[AD]2= [АВ]2+[BD]2, т. е. [2R]2=R2+ a23,
откуда
§ 81. Круг, вписанный в правильный многоугольник
Мы знаем, что во всякий треугольник можно вписать круг. Покажем теперь, что можно вписать круг также во всякий
п р а в и л ь н ы й м н о г о у г о л ь н и к.
Пусть имеется правильный многоугольник, часть которого ABCD изображена на черт. 221. Проведем равно-делящие двух соседних углов, напр., В и С, и точку О их пересечения соединим со всеми вершинами многоугольника. Так как уг. С многоугольника равен углу В, (почему?), то равны и их половины: уг. 2 = уг. 3, а следовательно, и сторона ОС = стороне ОВ (почему?). Треугольники OCDи ОВС имеют по две равные стороны [ОС = ОВ, АВ = ВС] и равные углы [уг. 3 = уг. 4]; значит, они равны [СУС], и ОВ = ОС, а уг. 3 = уг. 5. Таким же образом убеждаемся (выполните это), что треугольник ODE– треугольнику OCDи т. д. В результате узнаем, что все треугольники, на которые разбит указанным образом наш многоугольник, равны между собою, а следовательно, равны и их высоты, проведенные из точки О. Так как точка О одинаково удалена от всех сторон многоугольника, то она и есть центр вписанного круга. Подобные рассуждения можно приложить ко всякому правильному многоугольнику, а следовательно, внутри всякого правильного многоугольника можно найти точку, которая служит центром вписанного круга. Другими словами, -
в о в с я к и й п р а в и л ь н ы й м н о г о у г о л ь н и к м о ж н о в п и с а т ь к р у г. Центр круга, вписанного в многоугольник, называется ц е н т р о м э т о г о м н о г о у г о л ь н и к а, а радиус вписанного круга —
а п о ф е м о й м н о г о у г о л ь н и к а.
§ 82. Круг около правильного многоугольника
Сходными рассуждениями можно убедиться, что
о к о л о в с я к о г о п р а в и л ь н о г о м н о г о у г о л ь н и к а м о ж н о о п и с а т ь о к р у ж н о с т ь. Пусть имеется правильный многоугольник, часть которого ABCDEизображена на черт. 222. Проведем через середины М и Nдвух его соседних сторон перпендикуляры. Точку их пересечения О соединим со всеми вершинами многоугольника. Отрезки ОА, NB и ОС равны (почему?). Отсюда вытекает, что уг. 3 = уг. 4. Так как углы В и С многоугольника равны (почему?), то уг. 3 = уг. 5 и треугольники ОВС и О CD равны (СУС).
Таким же образом доказываем, что треугольник OCD равен треугольнику ODE– и т. д. Мы убеждаемся, что прямые, соединяющие точку О со всеми вершинами многоугольника равны, т. е. очка О есть центр описанного круга.
Совпадают ли центры обеих окружностей – описанной и вписанной? Нетрудно убедиться, что они должны совпадать. Стороны многоугольника служат хордами описанного круга и касательными вписанному. Мы знаем, что перпендикуляры к касательным точке касания должны проходить через центр вписанного круга. А через центр описанного должны проходить перпендикуляры, проведенные через середины хорд. Но как в данном случае те и другие перпендикуляры совпадают, то должны, конечно, совпадать и точки их пересечения, т. е. центр обоих кругов.
Повторительные вопросы к §§ 75–82
Какие прямоугольные фигуры называются вписанными? – Описанными? – Во всякий ли треугольник можно вписать окружность? А описать около
