Если мы заменим в 'магическом квадрате' Фрейденталя для компактных групп каждую группу движений эллиптической плоскости прямой линией этой плоскости, мы получим аналог квадрата Фрейденталя эрмитовы эллиптические прямые над тензорными произведениями алгебр R, C, H, О на алгебру H, третьей строке - эрмитовы эллиптические прямые над тензорными произведениями алгебр R, C, H, О на алгебру H, в четвертой строке - эрмитовы эллиптические прямые над тензорными произведениями алгебр R, C, H, О на алгебру О.

Прямые линии первой строки изометричны, соответственно, вещественной окружности и вещественным сферам 2, 4 и 8 измерений и поэтому допускают интерпретации в виде многообразий точек вещественной эллиптической прямой, прямых вещественной эллиптической плоскости, 3-мерных плоскостей 4-мерного вещественного эллиптического пространства и 7-мерных плоскостей 8-мерного вещественного эллиптического пространства. Прямые второй строки допускают интерпретации в виде многообразий точек вещественной эллиптической плоскости, прямых 3-мерного вещественного эллиптического пространства, 3-мерных плоскостей 5-мерного вещественного эллиптического пространства и 7-мерных плоскостей 9-мерного вещественного эллиптического пространства. Прямые третьей строки допускают интерпретации в виде мнгообразий точек 4-мерного вещественного эллиптического пространства, прямых 5-мерного вещественного эллиптического пространства, 3-мерных плоскостей 7- мерного вещественного эллиптического пространства и 7-мерных плоскостей 11-мерного вещественного эллиптического пространства. Прямые четвертой строки допускают интерпретации в виде мнгообразий точек 8- мерного вещественного эллиптического пространства, прямых 9-мерного вещественного эллиптического пространства, 3-мерных плоскостей 11- мерного вещественного эллиптического пространства, 7-мерных плоскостей 15-мерного вещественного эллиптического пространства.

Фрейденталь рассматривал в метасимплектических геометриях симплекты, т.е. многообразия 2-мерных нуль-плоскостей 5-мерных симплектических пространств, a также 2-мерные плоскости симплектов, прямые и точки этих плоскостей. Все эти образы являются фундаментальными параболическими образами метасимплектических геометрий, рассматриваемых Фрейденталем, причем в указанных геометриях все эти образы вещественны, а остальные фундаментальные образы мнимы. Точки плоскостей симплектов совпадают с точками абсолютов соответственных 2-мерных эрмитовых плоскостей.

Пересечение прямых линий эрмитовых эллиптических плоскостей, группы движений которых максимальные особые группы Ли.

В 2003г. Э.Б.Винберг обнаружил, что две прямые линии эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр H и О пересекаются не в одной, а в трех точках, и что две прямые линии эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением двух алгебр О пересекаются в 135 точках. Из уравнения прямой линии SjUjXj= 0 на этих плоскостях вытекает, что ассоциативные подалгебры тензорных произведений алгебр H и О и двух алгебр О, связанные с общими точками двух прямых эрмитовых эллиптических плоскостей, - одни и те же. Так как максимальная ассоциативная подалгебра алгебры О - алгебра H, а эрмитова эллиптическая прямая над тензорным произведением двух алгебр H 16- мерна, все 135 общих точек двух прямых на эрмитовой и эллиптической плоскости над тензорным произведением двух алгебр О находятся в 16- мерном подмножестве каждой из этих эрмитовых эллиптических прямых. Эти 135 точек изображаются 7-мерными плоскостями, находящимися в одной 9- мерной плоскости 15-мерного эллиптического пространства, изображающего прямую над тензорным произведением двух алгебр О. Так как полярами 7-мерных плоскостей в 9-мерном эллиптическом пространстве являются прямые линии, 135 общих точек двух прямых линий на эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением двух алгебр О изображаются 135 прямыми линиями 9-мерного вещественного эллиптического пространства. Эти прямые линии лежат в 4-мерной плоскости 9-мерного эллиптического пространства.

Группы Вейля простых групп Ли

С каждой компактной простой группой Ли связаны две конечные группы - группа Галуа уравнения Киллинга компактной простой группы Ли и группа Вейля, порожденная отражениями от гиперплоскостей эвклидова пространства, размерность которой равна рангу компактной группы, проходящих через общее начало корневых векторов компактной простой группы Ли ортогонально этим векторам. Эти группы обозначаются, соответственно, Г и W. Эти две группы изоморфны для всех компактных простых групп Ли, кроме групп классов An, Dn и Е6, в случае же групп этих классов группа W является инвариантной подгруппой гриппы Г, причем фактор-группы Г/W во всех случаях кроме случая группы класса D4состоят из двух элементов, а для группы D4 фактор гуппа Г/W состоит из 3!=6 элементов. Этот факт тесно связан с принципами двойственности и тройственности в пространствах, фундаментальные группы которых являются простые группы Ли классов An, Dn и Е6.

Группа Вейля компактной простой группы Ли класса An изоморфна группе симметрий n-мерного правильного симплекса, Группа Вейля компактной простой группы Ли класса An изоморфна группе симметрий n- мерного правильного симплекса, Группы Вейля компактных простых группы Ли классов Bn и Cn изоморфны группе симметрий n-мерного куба. Группа Вейля компактной простой группы Ли класса Dn изоморфна группе симметрий n-мерного 'полукуба', т.е. фигуры, получаемой из n-мерного куба удалением одной из каждых двух вершин, соединяемых ребрами куба.

Группа Вейля компактной простой группы Ли класса G2 изоморфна группе симметрий правильного 6- угольника. Группа Вейля компактной простой группы Ли класса F4 изоморфна группе симметрий 4-мерного 'бикуба', т.е. фигуры, вершины которой получаются из вершин 4-мерного куба добавлением 16 отражений центра симметрии куба от его граней.

Группа Вейля компактной простой группы Ли класса Е6 изоморфна группе симметрий кубической поверхностив 3-мерном проективном пространстве с 27 прямолинейными образующими, уравнение которой можно привести к виду ace = bdf, где a, b, c, d, e, f - линейные полиномы, а группа Вейля компактной простой группы Ли класса Е7 изоморфна группе симметрий линии 4-го порядка на проективной плоскости, с 28 двойными касательными.

В работе опубликованной в Белграде в 2005 г. я доказал, что последняя группа Вейля изоморфна группе симметрий поверхностив 4-го порядка в 3-мерном проективном пространстве, уравнение которой можно привести к виду aceg = bdfh, где a, b, c, d, e, f, g, h - линейные полиномы, а группа Вейля компактной простой группы Ли класса Е8 изоморфна группе симметрий 2-мерной поверхности в 4-мерном проективном пространстве, уравнение которой можно привести к виду adg = beh = cfi, где a, b, c, d, e, f, g, h, i -линейные полиномы. Эта 2-мерная поверхность обладает 27 прямолинейными образуощими и 108 трисекантами, т.е. прямыми линиями пересекающими эту поверхность в тройках точек. Так как число 27 + 108 = 135 прямых, связанных с этой 2-мерной поверхностью, совпадает с числом прямых линий в 4-мерной плоскости 9- мерного эллиптического пространства, определенном выше, а группы симметрий этих двух конфигураций прямых линий изоморфны между собой, эти конфигурации также совпадают между собой.

Геометрия квазипростых и r-квазипростых групп Ли

Выше я упоминал о связи междо некомпактными простыми группами Ли и симметрическими пространствами с компактной простой группой движений. Эта связь, установленная Картаном в 1929 г., состоит в следующем: если s - инволютивный элемент компактной группы G движений, определяющий симметрическое пространство, то переход от элемента g группы G к элементу sgs является инволютивным автоморфизмом группы G. Этот автоморфизм порождает инволютивный автоморфизм в алгебре Ли А группы G. Этот автоморфизм алгебры Ли А определяет ее представление в виде прямой суммы двух подпространств A=B+C, где пространства B и C таковы, что при этом автоморфизме все векторы подпространства В инвариантны, а все векторы подпространства C умножаются на -1.

Если мы умножим все векторы подпространства C на мнимую единицу j, мы получим алгебру Ли А' некомпактной группы G', имеющей ту же комплексную форму, что и группа G. Алгорит перехода от группы G к группе G' я называю 'Картановым алгоритмом'. И.М.Гельфанд называет группы G и G' 'двойственными по Картану'.

Если мы умножим все векторы подпространства С не на мнимую единицу j, а на дуальную единицу e алгебры C0 дуальных чисел, мы получим алгебру Ли A0 новой группы Go, которую И.М.Гельфанд называет 'тройственной по Картану' по отношению к группам G и G'.

Когда я читал в Утрехте лекцию об этих группах, Фрейденталь предложил называть эти группы 'квазипростыми группами Ли.' Поэтому я называю переход от группы G к группе G0 'квазикартановым