матрицы 3-го порядка, полученной 'проектированием' матрицы группы, представляющей группу проективных преобразований октонионной плоскости, на то подтело, к которому принадлежат октонионы f (Xi).

Движения октонионной эрмитовой эллиптической определяются таким же образом, но матрица третьего преобразующая октонионы f(xi), получается 'проектированием' октонионной матрицы 3-го порядка.

Координаты точек 2-мерных эрмитовых эллиптических и гиперболических плоскостей, группы движений которых являются особыми простыми группами Ли рангов 4, 6, 7 и 8, а также сами движения этих групп, определяются аналогично.

Образы симметрии компактных особых простых групп Ли имеют следующий вид.

В 6-мерном G-эллиптическом пространстве имется только один вид образов симметрии - точки.

В октонионной эрмитовой эллиптической плскости имеются два вида образов симметрии - точки и нормальные кватернионные 2-цепи, определяемые аналогично комплексным нормальным n-цепям кватернионного пространства.

В эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр C и О имеются четыре вида образов симметрии - точки, октонионные нормальные 2-цепи, комплексно -кватернионные 2-цепи и нормальные 2-бицепи. В этом случае нормальные 2-цепи определяются переходами от поля C к полю R и от тела О к телу H в одном из сомножителей тензорного произведения, нормальные 2-бицепи определяются такими же переходами в обоих сомножителях тензорного произведения.

плоскости порядка, унитарной

В эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр H и О имеются также четыре вида образов симметрии - точки, комплексно-октонионные нормальные 2-цепи, кватернионно- кватернионные 2-цепи и нормальные 2-бицепи. В этом случае нормальные 2-цепи определяются переходами от тела H к полю C и от тела О к телу H в одном из сомножителей тензорного произведения, нормальные 2-бицепи

определяются такими же переходами в обоих сомножителях тензорного произведения.

В эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением двух алгебр О имеются три вида образов симметрии - точки, кватернионно-октонионные 2-цепи и нормальные 2-бицепи. В этом случае нормальные 2-цепи определяются переходом от тела О к телу H в одном из сомножителей тензорного произведения, нормальные 2-бицепи определяются таким же переход в обоих сомножителях тензорного произведения.

Принципы двойственности и тройственности

Принцип двойственности n-мерной вещественной проективной геометрии связан с двусторонней симметрией диаграммы Дынкина простой группы класса An. Соглацно этому принципу гиперплоскости и m-мерные плоскости n-мерного пространства изображаются точки и (п-т-1)-мерные плоскости некоторого другого проективного прпстранства той же размерности.

Эта внутренняя симметрия в группе была ясна Э.Картану задолго до появления диаграммы Дынкина. Еще в 1925 г. Картан опубликовал статью 'Принцип двойственности и теория простых и полупростых групп', в которой он обобщил принцип двойственности для простых групп Ли класса А на простые группы класса Dn и на простую группу Ли класса Е6. Диаграммы Дынкина этих групп также обладают двусторонней симметрией. В случае групп класса Dn двойственными образами являются плоские образующие максимальной размерности абсолюта, принадлежащие к двум разным семействам.

Простая группа класса Е6, локально изоморфна группе проективных преобразований 2-мерной октонионной проективной плоскости, на этой плоскости точки двойственны прямым линиям.

В случае простой группы класса D4 диаграмма Дынкина обладает трехсторонней симметрией. Для этой группы Картан в той же статье 1925 г. сформулировал принцип тройственности. Для 7-мерных вещественных эллиптического пространства и псевдоэллиптического пространства индекса 4, группы движений которых являются компактной и расщепленной группами этого класса, тройственными образами являются 3-мерные плоские образующие абсолюта двух семейств и точки абсолюта, Эти образы мнимы в эллиптическом пространстве и вещественнын в псевдоэллиптическом пространстве. В обоих случаях вещественными тройственными образами являются прямые и паратактические конгруенции двух семейств. Из последнего факта вытекает изоморфизм группы движений 7-мерного вещественного псевдоэллиптического пространства индекса 2 и группы симплектических преобразований 3-мерного кватернионного симплектического пространства, а также интерпретация Л.В.Румянцевой одного из этих пространств в другом.

Симплектическая и метасимплектическая геометрии Фрейденталя

В серии работ под общим названием 'Отношения групп Е7 и Е8 к октонионной плоскости', опубликованной в 1954 -1963 гг., Фрейденталь нашел геометрические интерпретации некоторых некомпактных простых групп Ли классов F4, Е6, Е7 и Е8 Фрейденталь ввел понятие 5-мерного октонионного симплектического пространства. Это пространство нельзя определить как проективное пространство с более узкой группой преобразований. так как над алгеброй О не существует проективных пространств размерности больше 2. Фрейденталь называл 5-мерным октонионным симплектическим пространством только аналог многообразия 2-мерных нуль-плоскостей 5-мерного кватернионного симплектического пространства. Фрейденталь доказал, что группа симплектических преобразований этого пространства является некомпактной простой группой Ли класса Е7 с характером -25.

В той же серии работ Фрейденталь определил четыре метасимплектические геометрии - вещественную, комплексную, кватернионную и октонионную, и доказал, что группами преобразований этих геометрий являются, соответственно, расщепленная простая группа Ли класса F4 и некомпактные вещественные простые группы Ли класса Е6 с характером -26, класса Е7 с характером -25 и класса Е8 с характером - 24.

В моих дальнейших работах я доказал, что расщепленная простая группа Ли класса Е7 локально изоморфна группе симплектических преобразований псевдооктонионного аналога 5-мерного симплектического пространства Фрейденталя, а расщепленные простые группы Ли классов F4, Е6, Е7 и Е8 локально изоморфны группам преобразований псевдооктонионных аналогов метосимплектических геометрий Фрейденталя.

Изоморфизмы групп преобразований этих геометрий и групп движений эрмитовых эллиптических плоскостей над различными алгебрами определяют интерпретации этих геометрий на указанных плоскостях.

В той же серии работ Фрейденталь определил 'магический квадрат', состоящий из 16 простых и полупростых групп Ли, расположенных в виде квадрата. В 1-й строке этого квадрата находятся группы движений 2- мерных вещественной эллиптической плоскости и комплексной кватервионной и октонионной эрмитовых эллиптических плоскостей, во 2-й строке - группы проективных преобразований 2-мерных вещественной, комплексной, кватернионной и октонионной проективных плоскостей, в 3- ей строке - группы симплектических преобразований 5-мерных вещественного, комплексного, кватернионного и октонионного симплектических пространств, в 4-ой строке - группы преобразований вещественной, комплексной, кватернионной и октонионной метасимплектических геометрий. Название метасимплектических геометрий определяется их положением в этом квадрате после симплектических пространств.

Этот квадрат обладает замечательным свойством симметрии: группы симметричные относительно главной диагонали квадрата являются группами одного и того же класса и ранга. Эта симметрия следует из того, что группы 2-й строки этого квадрата изоморфны группам движений эрмитовых эллиптических плоскостей над тензорными произведениями алгебр R, C, H и О на алгебру C', группы 3-ей строки этого квадрата изоморфны группам движений эрмитовых эллиптических плоскостей над тензорными произведениями алгебр R, C, H и О на алгебру H', группы 4-й строки этого квадрата изоморфны группам движений эрмитовых эллиптических плоскостей над тензорными произведениями алгебр R, C, H и О на алгебру О'.

Заменяя в этом квадрате алгебры C', H' и О' полем С и телами Н и О, мы получим 'магический квадрат' для компактных групп. Заменяя в квадрате Фрейденталя поле С и тела Ни О алгебрами C', H' и О', мы получим 'магический квадрат' для расщепленных групп.