(F )½ в случае, когда F (x ) — многочлен, старший коэффициент которого есть иррациональное число. И. М. Виноградов, изучая распределение значений символа Лежандра на отрезках малой длины по сравнению с модулем, доказал (1914) неравенство

, X > 0,

  из которого следует, что квадратичных вычетов и невычетов на любом отрезке, длина которого чуть больше , асимптотически поровну. Кроме того, он высказал гипотезу, что это будет верно при Х > р ^e , где e > 0 — сколь угодно малое число. В 1917 И. М. Виноградов доказал, что число целых точек в области 0 < y £ f (x ), a < x £ b , при определённых ограничениях на порядок роста второй производной f (x ), равно площади этой области с точностью до слагаемого порядка корня кубического из главного члена. Позднее чешским математиком В. Ярником установлено, что точность этой формулы при сделанных предположениях относительно f (x ) нельзя существенно улучшить.

  Норвежским математиком В. Бруном доказаны (1919) теоремы, которые в определённом смысле приближались к проблеме простых близнецов и проблеме Эйлера. А именно, им доказана бесконечность числа пар u₁ и u₂ , таких, что u₁ — u₂ = 2 и число простых делителей u₁ и u₂ не превосходит девяти; а также разрешимость уравнения u₁ + u₂ = 2N , с теми же условиями на u₁ и u₂

  Г. Харди и Дж. Литлвуд опубликовали (1922—23) серию мемуаров под общим названием «Partitio Numerorum», в которых развили общий метод решения аддитивных задач Ч. т., получивший впоследствии название «кругового». Этот метод (на примере решения проблемы Варинга) состоит в следующем: пусть

[missing picture], ,

  тогда

  где I_k (N ) — число решений уравнений Варинга, которое находят по формуле

.

  Г. Харди и Дж. Литлвуд изучали последний интеграл при R ®1— 0. Окружность интегрирования определённым образом разбивается на «большие» и «малые» дуги (отчего и получил название метод), при этом интегралы по «большим» дугам дают главный член асимптотической формулы для I_k (N ), а по «малым» — остаточный. Т. о. получают асимптотическую формулу величины

  где s(N ) — некоторый «особый ряд»; s(N ) &sup3; с > 0, d >0 и k &sup3; (n —2)2^{n &frac34;1} + 5. С помощью этого метода Г. Харди и Дж. Литлвуд получили следующие результаты: дали новое решение проблемы Варинга, причём в форме более точной, чем это было у Д. Гильберта; дали условное решение проблемы Гольдбаха; сформулировали и выписали гипотетические формулы для количества решений большого числа уравнений с простыми числами.

  В начале 30-х гг. 20 в. И. М. Виноградовым был найден т. н. метод тригонометрических сумм, позволивший решить многие проблемы Ч. т. Так, занимаясь проблемой Варинга, И. М. Виноградов обнаружил (1929), что результат Харди — Литлвуда будет значительно проще, если вместо производящих рядов рассматривать тригонометрические суммы вида

,

  где F (x ) — действительная функция, и пользоваться соотношением