1 /2 , из чего следует, что
y(x )=x + O (
ln2 x ),
Из справедливости любой из последних формул следует гипотеза Римана. По аналогичной схеме были изучены L -ряды Дирихле. В 1896 Ш. Ла Валле Пуссен и Ж. Адамар доказали, что x(s ) ¹ 0 в области Res ³ 1, откуда следовала формула (асимптотический закон распределения простых чисел)
Кроме этого, Ш. Ла Валле Пуссен доказал, что x(s ) ¹ 0 в области
и что
где с и c1 — положительные постоянные. Такой же результат был получен им и для простых чисел в арифметических прогрессиях: если p(х , k , l ) — число простых чисел вида kn + 1, n £ х , k и l— взаимно простые числа, то
Метод получения асимптотических формул для p(х ), Y(х ), p(х , k , l ), названный методом комплексного интегрирования, нашёл многочисленные применения. Основой этого метода служит формула
Теория квадратичных форм, начатая работами Л. Эйлера, К. Гаусса, П. Дирихле, продолжала своё развитие в работах А. Н. Коркина , Е. И. Золотарёва и А. А. Маркова . В частности, А. Н. Коркин и Е. И. Золотарёв доказали теорему: переменным любой положительной кватернарной квадратичной формы определителя D можно придать такие целые значения, что значение формы не будет превосходить величины 
, и существуют такие формы, минимумы которых равны 
. Примером такой формы является следующая:
.
Исследования А. А. Маркова относились к изучению минимумов бинарных квадратичных форм положительного определителя и привели к целому ряду новых открытий.
Проблемы целых точек в областях на плоскости получили своё дальнейшее развитие в трудах Г. Ф. Вороного , создавшего (1903) метод, с помощью которого доказано, что остаточный член в асимптотической формуле Дирихле для числа целых точек под гиперболой имеет порядок корня кубического из главного члена. Позднее (1906) метод Вороного был перенесён В. Серпиньским на проблему Гаусса целых точек в круге с тем же результатом. В это же время были предприняты попытки найти решения аддитивных проблем Ч. т. и, в частности, решить Варинга проблему . В 1909 она была решена Д. Гильбертом .
Второе, третье и четвёртое десятилетия 20 в. были исключительно богаты новыми идеями и методами в Ч. т. Г. Вейль , решая задачи, связанные с устойчивостью Солнечной системы, пришёл к понятию равномерного распределения дробных долей целочисленных функций: дробные доли действительнозначной функции F (x ) равномерно распределены на [0,1) при х= 1,2,3.,.., если число попаданий дробных долей F (x ) на любой интервал из [0.1) пропорционально длине этого интервала. Он доказал, что для равномерности распределения дробных долей F (x ) необходимо и достаточно выполнение соотношения:
,
при любом фиксированном ½m ½>0, и получил нетривиальные оценки ½S
