— целые взаимно простые числа, подойти существенно ближе чем Q ^¾n к нему нельзя (теорема Лиувилля). Отсюда сразу следует существование бесконечного числа неалгебраич. чисел, которые стали называть трансцендентными. Например, таким будет число

Однако вопрос об алгебраичности и трансцендентности конкретных чисел труден, и первыми были такие вопросы о классических постоянных p и е . В конце 19 — начале 20 вв. Ч. т. продолжала развиваться по многим направлениям, причём для решения отдельных задач создавались общие методы, применимые к широкому кругу задач, иногда далеко удалённых от первоначальных. Часто созданные здесь методы и понятия дают толчок развитию новых направлений.

  Теория алгебраических чисел разделилась на два направления: одно изучает конкретные числа, доказывая их трансцендентность, другое изучает степень приближения алгебраических чисел рациональными или алгебраическими. В первом направлении общие методы были созданы Ш. Эрмитом (1873), доказавшим трансцендентность числа e , и немецким математиком Ф. Линдеманом (1882), доказавшим трансцендентность числа p и тем самым решившим задачу о квадратуре круга . Во втором — А. Туэ (1909) был предложен метод, с помощью которого он доказал, что в неравенстве Лиувилля к алгебраическому числу нельзя подойти существенно ближе чем Q ^{¾n/ 2} . Следствием этого явилась теорема Туэ о конечности числа решений в целых числах х и у уравнения

a₀ xⁿ + a₁ x^{n ¾1} y+... + a_{n ¾1} xy^{n ¾1} + a_n yⁿ =А ,

  где a₀ , a₁ ,... , a_n , А — целые числа, n ³ 3.

  Дальнейшее изучение простых чисел привело к новому методу в Ч. т., связанному с функцией x (s ). Б. Риман доказал, что дзета-функция x (s ) аналитически продолжается на всю плоскость комплексного переменного, является аналитической в каждой точке плоскости, за исключением s = 1, где она имеет полюс первого порядка с вычетом, равным 1, удовлетворяет функциональному уравнению x(s )= x(1¾s ), где

  Г (s ) — гамма-функция, и имеет бесконечно много нулей в полосе 0 £ Res = 1 (эти нули называют нетривиальными, а полосу — критической). Он установил тесную связь между нетривиальными нулями x (s ) и асимптотическим поведением p(х ). Изучение асимптотической формулы для функции Чебышева

  где L(n ) = lnp , если n = р^к L(n )= 0, если n ¹ p^k , эквивалентно такой же задаче для функции p(х ). Функция Y(х ) может быть выражена через интеграл от производящей функции — x¢(s )/ x(s ):

  Б. Риман высказал гипотезу, что все нетривиальные нули x (s ) лежат на прямой Res =