Показатель «процент прибыльных сделок» также является общепризнанной мерой прибыльности системной торговли. При использовании этого показателя в качестве целевой функции (левый нижний график рис. 2.3.1) получается оптимизационная поверхность принципиально отличная по форме от поверхностей других функций. Во-первых, вместо единственной оптимальной области (полученной для функции «прибыль») или нескольких таких областей (полученных для функций «коэффициент Шарпа» и «максимальная просадка») поверхность функции «процент прибыльных сделок» имеет множество оптимальных областей (она в большой степени полимодальна). Во-вторых, все оптимальные области данной функции представляют собой небольшие островки, в то время как большинство оптимальных областей других целевых функций имеют относительно большие площади поверхности. И, в-третьих, что самое главное, оптимальные области функций «прибыль» и «коэффициент Шарпа» не совпадают с оптимальными областями функции «процент прибыльных сделок».
Изучив оптимизационные пространства четырех функций полезности, мы можем сделать несколько важных выводов. Каждая из функций несет определенный объем информации, часть которой дублируется информацией, содержащейся в других функциях, а часть является уникальной, неповторяющейся информацией. При этом степень совпадения информации может быть разной для разных функций. Например, коэффициент Шарпа не добавляет почти никакой новой информации к информации, содержащейся в функции «прибыль». Поэтому вряд ли будет целесообразным использовать обе этих функции одновременно (объем дополнительных вычислений не оправдывает ту малую долю дополнительной информации, которая может быть получена). В то же время другие функции полезности содержат значительный объем новой недублирующей информации, которая не может быть получена с помощью функции «прибыль». Поэтому включение таких функций в систему многокритериальной оптимизации может быть вполне оправданным.
В этом разделе мы провели визуальный сравнительный анализ различных функций полезности и отметили разную степень дублирования содержащейся в них информации. Для того чтобы придать этим умозрительным заключениям количественное выражение, которое может быть использовано для окончательного выбора целевых функций, необходимо изучить их корреляции. Этому посвящен следующий раздел.
2.3.2. Взаимозависимость целевых функций
Для того чтобы выразить количественно степень дублирования информации, содержащейся в различных функциях полезности, следует сравнить попарно взаимозависимости этих функций. Чем меньше корреляция между функциями, тем меньше пересечение информации и тем это лучше с точки зрения многокритериальной оптимизации. Коэффициент корреляции выражает степень взаимозависимости функций, а коэффициент детерминации (квадрат коэффициента корреляции) выражает долю изменчивости одной функции полезности, которая объясняется изменчивостью второй функции. Следовательно, показатель, равный разности единицы и коэффициента детерминации, позволяет оценить долю дополнительной, недублирующей информации, которая попадает в систему оптимизации в результате введения в нее дополнительной функции полезности.
Корреляционный анализ показал, что все целевые функции взаимозависимы в большей или меньшей степени (рис. 2.3.2). Как и следовало ожидать, наибольшая корреляция существует между прибылью и коэффициентом Шарпа (внешняя схожесть оптимизационных пространств этих двух функций отмечалась нами в предыдущем разделе). В этом случае коэффициент корреляции очень высок (r = 0,95). Следовательно, доля недублирующейся информации, составляет всего 10 % (1 – 0,952 = 0,10). Поэтому не имеет смысла использовать одновременно и прибыль, и коэффициент Шарпа в рамках одной оптимизационной схемы.
Степень взаимозависимости между прибылью и процентом прибыльных сделок, а также между прибылью и максимальной просадкой гораздо ниже, чем между прибылью и коэффициентом Шарпа (обратная зависимость в случае с максимальной просадкой, по сути, является прямой, поскольку низкие значения просадки являются предпочтительными). В первом случае коэффициент корреляции равен 0,37 (левый средний график рис. 2.3.2), а во втором – 0,35 (правый верхний график рис. 2.3.2). Это означает, что доля недублирующейся информации для этих пар целевых функций составляет 86 и 88 % соответственно. Эти значения достаточно высоки для того, чтобы серьезно рассматривать вопрос о целесообразности их включения в систему многокритериальной оптимизации. Однако, принимая такое решение, необходимо определить, имеет ли смысл использовать обе эти функции или достаточно одной из них.
Для того чтобы принять такое решение, необходимо изучить взаимозависимость между этими двумя функциями полезности. Как следует из правого нижнего графика рис. 2.3.2 и низкого коэффициента корреляции (0,10), значения процента прибыльных сделок и максимальной просадки практически не зависят друг от друга. Информация, содержащаяся в этих двух функциях, почти не повторяется (доля не дублируемой информации составляет 99 %). Следовательно, добавление обеих целевых функций в систему многокритериального анализа вполне оправдано.
Таким образом, из четырех рассмотренных нами целевых функций имеет смысл использовать для многокритериальной оптимизации только три (прибыль, процент прибыльных сделок и максимальную просадку). Исключение из многокритериального анализа коэффициента Шарпа оправдывается не только тем, что эта функция почти полностью дублирует функцию прибыли, но еще и тем, что коэффициент Шарпа коррелирует с процентом прибыльных сделок и с максимальной просадкой в гораздо большей степени, чем функция прибыли (средний правый и левый нижний графики рис. 2.3.2).
Описанная выше процедура выбора целевых функций выглядит достаточно просто. Однако необходимо признать, что мы сознательно упростили эту процедуру, для того чтобы излишне не усложнять описание. Теперь мы устраним это упрощение, чтобы продемонстрировать всю сложность и многоплановость процесса выбора подходящих целевых функций.
Дело в том, что взаимозависимости, представленные на рис. 2.3.2, были построены на основании всего набора данных, составляющих оптимизационные пространства целевых функций. Это значит, что данные взаимозависимости строились для полных диапазонов значений двух параметров (2–120 дней для количества дней до экспирации опционов, 5–300 дней для периода истории для расчета HV). Например, для оценки корреляции между прибылью и коэффициентом Шарпа каждому узлу на левом верхнем графике рис. 2.3.1 ставилась в соответствие точка на правом верхнем графике. Полученная в результате такого сопоставления зависимость (верхний левый график рис. 2.3.2) состоит из 3600 точек.
Вместе с тем вполне можно предположить, что степень, и даже направленность, взаимозависимостей между разными целевыми функциями может меняться в зависимости от конкретных значений параметров и, соответственно, от диапазонов их значений. Для того чтобы проверить это предположение, следует рассчитать корреляции для каждого из значений двух параметров по отдельности (то есть нужно проверить, меняются ли корреляции в зависимости от значений параметров).
Начнем с параметра «период истории для расчета HV». Корреляции между некоторыми парами целевых функций зависят, а между некоторыми – не зависят от значений этого параметра (рис. 2.3.3). Например, корреляция функций, для которых была отмечена наибольшая степень взаимозависимости (прибыль и коэффициент Шарпа), не меняется на всем диапазоне значений параметра. Все прочие пары функций демонстрируют явно выраженные тренды.
Взаимозависимость пары целевых функций «прибыль» и «процент прибыльных сделок» достаточно высока при низких значениях параметра «период истории для расчета HV». По мере увеличения значений параметра степень скоррелированности двух этих функций снижается и падает до нуля, когда параметр достигает верхней границы диапазона своих допустимых значений. Такой же точно тренд характеризует и взаимозависимость другой пары целевых функций
