Таким образом, можно сделать вывод, что диапазон значений параметров влияет на форму оптимизационного пространства и в значительной степени определяет выбор окончательного оптимального решения. В целом, чем больше область допустимых значений параметров, тем больше шанс, что максимум целевой функции попадет в исследуемое оптимизационное пространство. Однако при этом уменьшается шанс найти этот максимум в процессе оптимизации, поскольку, во-первых, возникает необходимость проверять большее количество узлов и, во-вторых, из-за сложности поверхности возрастает риск «застрять» на локальных максимумах.
2.2.3. Шаг оптимизации
Шаг оптимизации не оказывает определяющего влияния на общую форму оптимизационного пространства, однако он влияет самым прямым образом на глубину его проработки. Чем шире шаг, тем больше деталей рельефа оптимизационного пространства может быть упущено в процессе оптимизации. Например, из-за слишком широкого шага оптимизации можно вовсе не обнаружить узкий пик функции полезности. Следовательно, при увеличении шага объем информации о целевой функции уменьшается.
Для рассматривавшейся ранее оптимизационной поверхности (рис. 2.2.2) использовался шаг два дня (для параметра «число дней до экспирации») и пять дней (для параметра «период истории для расчета HV»). Теперь мы увеличим эти значения – до четырех и 10 дней соответственно – и посмотрим какой эффект это окажет на информативность пространства. Левый график рис. 2.2.4 демонстрирует поверхность, полученную в результате увеличения шага. Сравнивая эту поверхность с рис. 2.2.2, мы видим, что, несмотря на уменьшение деталей, область глобального максимума сохранилась. Ранее узел глобального максимума имел координаты 30 по горизонтальной оси и 105 по вертикальной, теперь глобальный максимум имеет координаты 30 и 100. Хотя узел, имевший самое высокое значение целевой функции (7,1 %) исчез, его место в качестве глобального максимума занял соседний узел, целевая функция которого имеет весьма близкое значение (7 %).
Продолжим процедуру укрупнения шага, увеличив его значения до шести дней для параметра «число дней до экспирации» и 15 дней для параметра «период истории для расчета HV». Количество деталей рельефа уменьшилось еще больше (правый график рис. 2.2.4). Кроме того, полностью исчезла прежняя оптимальная область, располагавшаяся ранее вдоль 30-й вертикали и содержавшая узел глобального максимума. Новый глобальный максимум теперь имеет координаты 32 и 125, а значение новой целевой функция деградирует до 5,5 %. Отсюда следует вывод, что по мере укрупнения шага оптимизации происходит ухудшение находимых оптимальных решений.
Вместе с тем увеличение шага оптимизации имеет и свои плюсы. Несмотря на сдвиг в координатах глобального максимума и ухудшение находимых решений, новая оптимальная область по-прежнему остается приблизительно в том же районе оптимизационного пространства, что и при более детальной проработке. При этом само пространство получается более гладким. Преимущество сглаживания заключается в том, что большинство незначительных локальных экстремумов исчезает из оптимизационного пространства. В результате уменьшается вероятность того, что процесс оптимизации (использующий более экономные способы поиска оптимального решения, чем метод полного перебора) остановится на локальном максимуме.
Следовательно, увеличение шага оптимизации, с одной стороны, уменьшает шанс того, что максимум целевой функции, попадет в исследуемое оптимизационное пространство, но, с другой стороны, снижает количество вычислений и повышает эффективность поиска за счет устранения незначительных локальных экстремумов.
2.3. Целевые функции и их применение для базовой дельта-нейтральной стратегии
С помощью целевой функции мы оцениваем и сравниваем между собой меру полезности различных комбинаций параметров. Поэтому выбор целевой функции является одним из ключевых элементов, во многом определяющим эффективность оптимизации. Каждая функция создает оптимизационное пространство, имеющее свои характерные особенности. Оптимизационные пространства разных функций полезности могут быть достаточно близкими по своей форме, а могут существенно отличаться друг от друга. В этой главе мы рассмотрим различные функции полезности, создающие как похожие, так и весьма далекие по форме пространства.
В большинстве случаев невозможно ограничиться одной функцией полезности. Обычно приходиться использовать не менее трех-четырех функций одновременно. Иногда их количество бывает гораздо большим (до 10 и даже более). Использование большого количества целевых функций особенно актуально для оптимизации опционных торговых стратегий, поскольку в этом случае приходится оценивать не только стандартные параметры доходности и риска, но также особые характеристики, специфичные для опционов. В главе 1 мы рассматривали множество таких функций, когда говорили о характеристиках опционных портфелей. Увеличение количества целевых функций приводит к необходимости разработки специальных методик многокритериального анализа. Значительная часть материала текущей главы будет посвящена этому непростому вопросу.
2.3.1. Оптимизационные пространства различных целевых функций
При оптимизации большинства автоматизированных торговых систем основной целевой функцией является прибыль (этот показатель может иметь разные формы выражения – в процентах или абсолютных цифрах, в годовом эквиваленте или с привязкой к операционному циклу системы). Все примеры, рассмотренные нами ранее в этой главе, основывались именно на этой целевой функции. Левый верхний график рис. 2.3.1 воспроизводит оптимизационное пространство, построенное на основании этой базовой функции. Теперь мы рассмотрим, насколько выбор других целевых функций влияет на форму оптимизационной поверхности тех же параметров.
При использовании в качестве целевой функции коэффициента Шарпа (правый верхний график рис. 2.3.1) форма поверхности выглядит почти так же, как и для функции «прибыль» (за исключением мелких, незначительных расхождений). Наибольшая по площади оптимальная область располагается приблизительно в одном и том же месте и имеет похожую форму. Глобальный максимум имеет почти те же координаты, что и для целевой функции «прибыль». Единственное отличие состоит в том, что координата по вертикальной оси составляет 100 дней для функции «коэффициент Шарпа» вместо 105 дней для прибыли (это незначительное отличие вряд ли имеет какое-либо принципиальное значение). Следует также отметить, что данная оптимизационная поверхность полимодальна, поскольку имеет еще несколько оптимальных областей, содержащих локальные максимумы. Однако в силу того, что эти области очень невелики по площади, с точки зрения робастности они явно уступают области глобального максимума.
Следующая функция полезности, максимальная просадка – представляет собой общепризнанный показатель риска торговых стратегий. Оптимизационное пространство, соответствующее этой функции, показано на правом нижнем графике рис. 2.3.1. В отличие от других показателей оптимизация максимальной просадки требует нахождения минимума, а не максимума функции полезности. Поэтому оптимальными являются те области поверхности, которые имеют низкие высотные отметки. В отличие от коэффициента Шарпа оптимизационное пространство данного показателя полностью отличается от пространства, соответствующего целевой функции «прибыль». Оптимальные области располагаются в двух направлениях: (1) в первой половине диапазона значений параметра «количество дней до экспирации» при условии, что параметр «горизонт истории для расчета IV» имеет низкие значения (вдоль горизонтальной оси); (2) в широком диапазоне значений параметра «горизонт истории для расчета IV» при условии, что параметр «количество дней до экспирации» имеет низкие значения (вдоль вертикальной оси). В этих же местах были отмечены оптимальные зоны (хоть и значительно меньших размеров) для функции «коэффициента Шарпа». Это объясняется тем, что коэффициент Шарпа «содержит в себе» информацию о риске
