а фиксируются исходя из определенных соображений разработчика торговой стратегии. Сюда же можно отнести и устойчивость к небольшим изменениям в структуре стратегии. Другой, не менее важный аспект устойчивости, – это степень чувствительности оптимизационного пространства к протяженности исторических ценовых рядов, используемых для расчета значений целевой функции. Слишком короткие ценовые ряды приводят к тому, что торговая система настраивается только на недавние рыночные тренды. С другой стороны, длинные ценовые ряды настраивают систему на возможно устаревшие данные. Кроме того, желательно, чтобы исторические данные, используемые в оптимизации, отражали различные состояния рынка (то есть спокойные и кризисные периоды). Все эти соображения приводят к тому, что при настройке торговой системы приходится экспериментировать с историческими рядами разной протяженности. В таких ситуациях желательно, что бы форма оптимизационной поверхности не очень изменялась (то есть была устойчивой) при относительно небольших изменениях длины исторических рядов.

2.1.3. Целевая функция

Все задачи оптимизации сводятся к отысканию наибольшего или наименьшего значения некоторой функции, которую принято называть целевой функцией. Она представляет собой отображение вектора значений параметров (которые являются аргументами функции) на число, являющееся значением функции в определенной точке оптимизационного пространства. Целевая функция может быть задана формулой или расчетным алгоритмом (который по заданному набору параметров вычисляет значение оптимизируемой величины) или браться из эксперимента. Методы поиска оптимальных решений зависят от свойств целевой функции и той информации о ней, которая является доступной в процессе решения задачи.

В соответствии со сложившимися научными традициями, задачи оптимизации принято решать путем определения наименьшего значения целевой функции. Несмотря на то что с практической точки зрения нахождение максимального и минимального значений – это противоположные задачи, для их решения могут применяться одни и те же методы. Для этого следует переформулировать задачу таким образом, чтобы минимум исходной задачи соответствовал максимуму переформулированной (например, взяв целевую функцию с противоположным знаком или взяв обратную к ней величину в качестве новой целевой функции). Тогда алгоритм, отыскивающий максимум новой задачи, тем самым найдет минимум первоначальной (и наоборот). Несмотря на сложившиеся традиции, мы будем формулировать оптимизационные задачи как поиск максимумов. Это объясняется тем, что одной из основных целевых функций при оптимизации торговых стратегий является прибыль и различные производные от нее. Поэтому с психологической точки зрения комфортнее максимизировать прибыль, а не минимизировать ее.

Исторически теория оптимизации работала почти исключительно с целевой функцией, задаваемой аналитической формулой. В наиболее простых с математической точки зрения случаях формула представляет собой дифференцируемую функцию. Для исследования ее свойств (участки возрастания и убывания, точки экстремума) может использоваться производная, что позволяет строить эффективные алгоритмы поиска оптимального решения. Приравнивание к нулю производных по всем параметрам и решение полученной системы уравнений позволяет получить изящное решение в общем виде.

Современные потребности, поддерживаемые впечатляющими достижениями научно-технического прогресса, привели к существенному расширению круга решаемых прикладных задач. Во многих из них целевая функция не задана аналитически и не может исследоваться с помощью производных. В этих условиях значения функции могут быть получены только путем алгоритмических расчетов.

Методы, использующие алгоритмические расчеты и не требующие вычисления производных целевой функции, называются прямыми методами. Несомненным достоинством прямых методов является то, что от целевой функции не требуется дифференцируемости. Более того, она может быть не задана в аналитическом виде. Единственное на чем основаны алгоритмы прямых методов, это возможность определения значений целевой функции. Практически все задачи, требующие оптимизации торговых систем, решаются на основе применения алгоритмических моделей. Поэтому в настоящей главе мы будем заниматься только прямыми методами оптимизации.

Решение задачи оптимизации существенно осложняется в тех случаях, когда необходимо использовать более одной целевой функции. При оптимизации торговых стратегий эта проблема возникает почти всегда. Основная целевая функция для таких стратегий – прибыль. Однако невозможно ограничиться только этим показателем. Необходимо принимать во внимание также изменчивость прибыли, максимальные просадки, долю прибыльных сделок, показатели риска и многие другие важные факторы, каждый из которых является отдельной целевой функцией.

Особенность использования нескольких целевых функций заключается в том, что максимум одной функции редко совпадает максимумом другой. Напротив, разные целевые функции, как правило, оказываются противоречащими друг другу – оптимальные значения одной из них могут оказаться сколь угодно плохими с точки зрения другой. (Подобная ситуация уже рассматривалась нами в разделе 1.6.) Поиск путей эффективного использования нескольких целевых функций составляет предмет теории многокритериальной оптимизации. Можно выделить три основных подхода к многокритериальной оптимизации:

1. Выделение одного из критериев как основного с превращением прочих в ограничения (фильтры). После получения оптимального решения по основному критерию вычисляют значения прочих критериев в точке оптимума. Если решение, найденное по основному критерию удовлетворяет ограничениям, наложенным на второстепенные критерии, то их наличие не влияет на результат. Если же величины этих критериев оказываются неприемлемо низкими или высокими, то данное решение отбрасывается.

2. Построение комбинированного критерия (свертки). Он может быть образован как простое или взвешенное среднее арифметическое (веса могут отражать важность критериев или просто учитывать различный разброс их числовых значений) или среднее геометрическое (также простое или взвешенное). Кроме этого, существует еще несколько вариантов свертки.

3. Оптимизация по методу Парето. В большинстве случаев этот способ приводит к получению нескольких оптимальных решений, даже если по каждому критерию существует единственный максимум. Результатом оптимизации становится совокупность решений, представляющая собой множество Парето. В него входят такие решения, которые доминируют над всеми прочими вариантами, не вошедшими в оптимальное множество. При этом ни один из вариантов, отнесенных к паретовскому множеству, не доминирует над другими вошедшими в него вариантами.

Все методы многокритериальной оптимизации приводят к привнесению в систему определенного субъективного элемента. В первом случае он состоит в выборе одного из критериев в качестве главного и в задании ограничений для второстепенных. В случае свертки субъективным является выбор способа комбинирования критериев и определение весов (особенно если они вводятся для учета важности критериев). Необходимость выбора единственного решения из множества равнозначных альтернатив (метод Парето) также обременена влиянием субъективных факторов. В разделе 2.4 мы рассмотрим основные особенности многокритериальной оптимизации применительно к разработке автоматизированных торговых систем.

2.2. Оптимизационное пространство дельта-нейтральной стратегии

Форма и свойства оптимизационного пространства зависят от многих факторов, большинство из которых было названо в предыдущем разделе. Бесспорно, форма оптимизационного пространства специфична для разных опционных стратегий. Каждая стратегия имеет свой уникальный набор параметров, области их допустимых значений и шаг оптимизации. Поэтому совершенно естественно, что разные стратегии будут иметь весьма различные оптимизационные пространства. Однако даже в тех случаях, когда параметры, области допустимых значений и шаг являются одинаковыми для двух разных стратегий (например, такая ситуация вполне реальна для дельта-нейтральной и частично-направленной стратегий), их оптимизационные пространства могут быть (и в большинстве случаев бывают) очень разными.

В этой главе мы ставим себе целью рассмотреть форму и свойства некоего