§ 65. Подобие треугольников
Сейчас мы установили, что для подобия многоугольников необходимо равенство их углов и пропорциональность сходственных сторон (объясните, что это значит?). Теперь покажем, что для подобия т р е у г о л ь н и к о в достаточно одного лишь равенства углов, т. е., что в треугольнике с соответственно равными углами стороны пропорциональны.
Пусть нам известно, что в треугольниках ABCи DEF (черт. 190) угол A= уг. D, уг. B = уг. E, а значит и третий угол C = углу F. Убедимся, что в таком случае стороны этих треугольников пропорциональны. Для этого перенесем мысленно треугольник ABCна DEFи положим его так, чтобы вершина В попала в Е, сторона ВА пошла по стороне ED, a BC– по EF. Третья сторона АС займет положение МN, и так как уг. А = уг. D, то MNляжет параллельно DE. В таком положении легко доказать, что стороны меньшего треугольника пропорциональны сторонам большего. Разделим сторону EDна такое число частей, чтобы одна из точек деления пришлась в М. Пусть между Е и М уместилось 2 таких части, а между М и D – 3. Проведем через точки деления прямые, параллельные DF. Эти параллельные (черт. 191) рассекут сторону EFтакже на равные части (почему? См. § 57): две части – между Е и Nи 3 части – между Nи F. Теперь ясно, что
ED/EM = 5/2 = EF/EN
Но так как EF= AB, a EN= BC, то
ED/AB = EF/BC
Значит, стороны ЕD, AB, EF и BC– пропорциональны.
Для подобия треугольников необходимо еще, чтобы и отношение третьей пары сторон DF: ACравнялось отношению ED: АВ (или EF: BC). Чтобы и в. этом удостовериться, проведем через точки деления стороны ED(черт. 192) ряд прямых, параллельных EF. Сторона MN разделится тогда на 2 равные части (почему?), a DF– на 5 таких же частей (почему?), и станет ясно, что
DE/AC=5/2=ED/AB=EF/BC
Итак, если углы одного треугольника равны углам другого, то стороны, прилегающие к равным углам (или лежащие против равных углов) пропорциональны.
П р и м е ч а н и е. Стороны треугольников могут иметь такую длину, что невозможно выполнить деление их, как указано было на черт. 191: ни одна точка деления не приходится в точке М. Однако, рассмотренное сейчас свойство сохраняется и в таком случае (это доказывается в более полных учебниках).
Мы сейчас доказали, что в двух треугольниках при равенстве, углов стороны должны быть пропорциональны. Покажем теперь, что и наоборот: при пропорциональности сторон треугольники имеют соответственно равные углы.
Это надо понимать так. Если длины сторон двух треугольников (напр. I и II на черт. 193) таковы, что
a/e = b/f = c/g
