I(?) = (kTN? / 4?3hc2). (106)
Эта формула — просто определение TN, которое в целом представляет собой функцию со и t. Я не предполагаю, что шум обладает планковским спектром на всех частотах. Лишь часть шума принадлежит изначальной фоновой радиации, обладающей планковским спектром при температуре ?R. Изначальная шумовая температура ?R изменяется обратно пропорционально радиусу вселенной:
(k?RR/hc) = ?= 1029, (107)
где R задано формулой (8). Я полагаю, что спектр шума в целом по мере расширения вселенной изменяется в том же соотношении с радиусом и таким образом:
(TN/?R) = f(x), х = (h?/k?R), (108)
где f есть универсальная функция от х. Если х близко к единице, то в шуме преобладает реликтовое излучение и f(x) имеет планковскую форму
f(x) = fP(x) = х (ех — 1)-1, х ~ 1. (109)
Однако возможны значительные отклонения от (109) как при большом х (результате красного смещения звездного света), так и при маленьком х (результате нетермальных радиоизлучений). Не углубляясь в детали, скажем просто, что f(x) в целом является уменьшающейся функцией х и быстро стремится к нулю по мере того, как х —> ?.
Общая энергетическая плотность радиации во вселенной составляет
(4?/c) ?I(?) h?d? = (k?R)4I / (?2h3c3), (110)
где
I = ?0?f(x)x2dx. (1ll)
Интеграл I должен сходиться как при высоких, так и при низких частотах. Следовательно, мы можем найти такое числовое ограничение b, что
x3f(x)<b (112)
для всех х. В сущности, (112), вероятно, выполняется при b = 10, если мы будем избегать некоторых определенных частот, например водородной линии 1420 Мгц.
Число шумовых фотонов, полученных в течение времени tB приемником с шириной полосы В' и сечением составляет
FN = 4??'B'?BI(?'). (113)
Подставляя значения из (95), (96), (100), (103) и (108) в (113), получаем:
FN = (2r0/?B)fN'F', (114)
где
r0 = (e2/mc2) = 3•10–13cm, (115)
а
?B = (hc / k?'R) = ?-1RB (116)
— длина волны фонового реликтового излучения во время приема сообщения. Если F' — сигнал, то отношение сигнала к шуму равняется
RSN = (?B / 2fN'r0). (117)
В этой формуле f — отношение шума и температуры, заданное (108), N' — число электронов приемника, а ?0, ?B заданы (115) и (116). Отметим, что в вычислении (117) мы не даем приемнику возможности выбора угла, поскольку сечение заданное (95), не зависит от направления.
Теперь подведем итоги нашего анализа. У нас имеются передатчик и приемник на мировых линиях А и В, передающие и принимающие сигналы во время tA = Т0 (sinh? — ?), tB = Т0 (sinh(? + ?) — (? + ?)). (118)
Согласно (89) и (101),
?A = ?(dtA/d?), ?B = ?(dtB/d?). (119)
Для удобства будем считать, что передатчик постоянно направлен на приемник и передает сообщения
