где ?' — эффективное сечение приемника.
Теперь сечение приемника, поглощающего фотон с частотой ?', задано формулой, подобной формуле (63) из предыдущей лекции:
где Dij — снова дипольный матричный элемент между состояниями i и j. Проинтегрировав все это относительно всех ?', мы получаем в точности левую половину правила суммы (67). Вклад от отрицательного ?' представляет собой наведенное излучение фотонов получателем. Я предполагаю, что получатель не связан с поступающими фотонами, и, следовательно, наведенным излучением можно пренебречь. Таким образом, у нас получается
?0? ?'d?' = ?' (2?2е2/mc), (94)
где ?' — число электронов приемника. Если приемник настроен на частоту ?' с ширингой полосы В', (94) дает нам
?'?' ? ?' S0, (95)
S0 = (2?2e2/mc) = 0,167 cm2 sec-1. (96)
Чтобы избежать смешивания единиц, я измеряю как ?', так и В' не в герцах, а в радианах в секунду. Полагаю, высокоразвитая цивилизация сможет создать приемник, для которого соотношение (95) выполняется со знаком равенства. Тогда (92) примет следующий вид:
F' = (FN' S0/d2TB'). (97)
Я предполагаю, что передатчик содержит N электронов, способных создать направленное излучение с углом распространения, составляющим порядка N-1/2. Если передатчик представляет собой луч, состоящий из N диполей с оптимальными фазами, число фотонов на стерадиан в луче составляет
F = (3N/8?) (E/h?), (98)
где Е — общий объем переданной энергии. Число полученных фотонов равняется
F' — (3NN1 ES0 / 8?h?d2TB'). (99)
Из (99) мы сразу видим, что для увеличения числа передаваемых фотонов необходимы низкие частоты и узкие полосы. Однако мы заинтересованы в передаче не фотонов, а информации. Чтобы эффективно извлекать информацию из заданного числа фотонов, нам придется использовать ширину полосы, равную скорости детектирования:
B' = (F'/?B), B = (F'/?A), (100)
где ?в — продолжительность приема, а ?А — продолжительность передачи. При этой ширине полосы F' представляет как число фотонов, так и число принятых битов информации. Удобно выражать ?в и ?А как долю радиуса вселенной во время передачи и приема информации:
?A = (?RA/c), ?B = (?RB/c). (101)
Условие
? ? 1 (102)
устанавливает нижний предел ширины полосы В. Предположим также для простоты, что частота со сделана такой низкой, как только возможно, в соответствии с шириной полосы В, а именно:
? = В, ?' = В'. (103)
Тогда (99), (100) и (101) дают
F' = {NN'52E / [(1+z) (sinh2?)Ec]}1/3, (104)
где, согласно (96),
Ес = (8?hc2 / 3S0) = (4/3?)137mc2 = 3•105 erg. (105)
Из (104) мы видим, что количество информации, которую можно передать от А к В через заданный объем энергии, со временем, по мере расширения вселенной и отдаления А и В друг от друга, не уменьшается. Увеличение расстояния компенсируется снижением энергетической стоимости каждого фотона и увеличением угла приема при уменьшении длины волны.
Полученный сигнал задается формулой (104). Теперь нам необходимо сравнить его с полученным шумом. Фоновый шум во вселенной на частоте со можно описать эквивалентной температурой шума TN, так что число фотонов на единицу волны на стерадиан на квадратный сантиметр в секунду описывается формулой Релея–Джинса:
