вступает здесь в новую фазу: связь с дифференциальными уравнениями, представляющими собой наиболее широко используемую модель физического мира, и язык, на котором сформулировано большинство физических законов природы.
И снова наиболее глубокие аспекты теории сводятся к симметрии, правда, с новым поворотом сюжета. Теперь группы симметрии будут не конечными, а «непрерывными». Математике предстояло обогатиться одной из наиболее влиятельных программ исследований из всех когда-либо предпринятых.
Глава 10
Несостоявшийся солдат и хилый книжный червь
Мариус Софус Ли занялся наукой только потому, что из-за плохого зрения был не годен ни к одной из военных профессий. Когда в 1865 году Софус (имя, под которым он обрел известность) закончил университет Христиании, он имел в своем багаже несколько математических курсов, включая и курс по теории Галуа, читавшийся норвежским математиком Людвигом Силовом, однако Софус не выказывал каких-либо особых способностей в этом предмете. В течение некоторого времени он колебался, осознавая свое стремление к академической карьере, но колеблясь, к какой из областей науки себя применить — к ботанике, зоологии, или, быть может, астрономии.
Записи в университетской библиотеке показывают, что он начал брать все больше и больше книг по математике. А в 1867 году посреди ночи его посетило видение дела всей его жизни. Друг Софуса Эрнст Мотцфелд был немало удивлен, когда посреди ночи его разбудил возбужденный Ли, кричавший: «Я понял! Это совсем просто!» А понял он, как по-новому смотреть на геометрию.
Ли взялся за изучение работ великих геометров, таких как немец Юлиус Плюккер и француз Жан- Виктор Понселе. От Плюккера он перенял идею геометрий, основанных не на хорошо всем знакомых точках, как у Эвклида, а на других объектах — линиях, плоскостях, окружностях. В 1869 году он на собственные средства опубликовал статью, кратко излагающую его основную идею. Подобно своим предшественникам Галуа и Абелю, он обнаружил, что его идеи слишком революционны для старой гвардии, так что обычные журналы не желали публиковать его исследования. Но Эрнст отказал своему другу в праве на уныние и поощрял его продолжать работы по геометрии. В конце концов одна из статей Ли была опубликована в престижном журнале и получила благосклонный прием.
Это принесло Ли стипендию. Теперь у него были деньги, чтобы путешествовать, посещать ведущих математиков и обсуждать с ними свои идеи. Он отправился туда, где взращивался весь цвет прусской и немецкой математики, — в Геттинген и Берлин, где беседовал с алгебраистами Леопольдом Кронеккером и Эрнстом Куммером и аналитиком Карлом Вейерштрассом. На него произвел большое впечатление подход Куммера к математике и несколько меньшее — подход Вейерштрасса.
Наиболее важная встреча, однако, состоялась в Берлине — с Феликсом Клейном, который, так случилось, учился ранее у Плюккера, которым Ли глубоко восхищался и которому стремился подражать. У Ли и Клейна было очень схожее математическое образование, но совершенно разные вкусы. Клейн, по существу, алгебраист с геометрическим уклоном, обожал работать над специальными проблемами, обладающими внутренней красотой; Ли же был аналитиком, которому импонировал широкий охват общих теорий. По иронии судьбы именно общие теории Ли дали математике некоторые из наиболее важных специальных структур, которые и были, и до сих пор остался изумительно красивыми, необычайно глубокими и по большей части алгебраическими. Открытие этих структур могло бы вообще не состояться, если бы не стремление Ли к общности. Если вы пытаетесь понять все возможные математические объекты некоторого типа и если вам это удалось, то вы неизбежно найдете среди них много объектов с необычными свойствами.
В 1870 году Ли и Клейн снова встретились в Париже. Именно там Жордан обратил Ли в дело теории групп. В то время росло осознание, что геометрия и теория групп выражают две стороны одной медали, но законченное оформление этих мыслей требовало времени. Ли и Клейн написали несколько совместных работ, пытаясь сделать связь между группами и геометрией более явной. В конце концов мысли Клейна кристаллизовались в его «эрлангенской программе» 1872 года, согласно которой геометрия и теория групп тождественны друг другу.
На современном языке эта идея звучит столь просто, что, казалось бы, она должна была всегда представляться совершенно очевидной. Группа, отвечающая любой заданной геометрии, — это группа симметрий данной геометрии. Наоборот, геометрия, соответствующая какой-либо группе, доставляется любым объектом, группой симметрии
Например, симметрии эвклидовой геометрии — это те преобразования плоскости, которые сохраняют длины, углы, линии и окружности. Они составляют группу всех движений плоскости без деформаций. Наоборот, что-нибудь, инвариантное относительно таких движений, естественно попадает в сферу действия эвклидовой геометрии. Неэвклидовы геометрии просто используют иные группы преобразований.
Зачем же тогда трудиться, чтобы конвертировать геометрию в теорию групп? Дело в том, что это дает два разных способа думать о геометрии, а также два разных способа думать о группах. Иногда вещи легче понять одним способом, иногда другим. Две точки зрения лучше одной.
Отношения между Францией и Пруссией быстро ухудшались. Император Наполеон III рассчитывал поддержать свою падающую популярность, начав войну с Пруссией. Бисмарк отправил французам телеграмму провокационного содержания, и 19 июля 1870 года была объявлена Франко-Прусская война. Клейн — пруссак в Париже — счел за лучшее вернуться в Берлин.
Однако Ли был норвежцем и очень ценил свое пребывание в Париже, поэтому решил там остаться. Потом, правда, осознав, что Франция проигрывает войну и немецкая армия движется на Метц, он передумал: хотя он и был гражданином нейтральной страны, оставаться в потенциальной зоне боевых действий было небезопасно.
Ли решил отправиться в путешествие пешком и направил свои стопы в Италию. Ушел он, однако, недалеко; французские власти схватили его у Фонтенбло, примерно в 25 милях к юго-востоку от Парижа; при нем находилось некоторое количество документов, испещренных нечитабельными символами. Поскольку они, очевидно, представляли собой шифр и было совершенно ясно, что Ли шпионил в пользу немцев, его поместили под арест. Потребовалось вмешательство ведущего французского математика Гастона Дарбу, чтобы убедить власти в математическом содержании записок. Ли был отпущен из тюрьмы, французская армия сдалась, немцы начали осаду Парижа, а Ли снова отправился в Италию — на этот раз успешно. Оттуда он вернулся в Норвегию. По пути он случайно повстречался с Клейном, отсиживавшимся в Берлине.
В 1872 году Ли защитил диссертацию. Норвежская академическая среда была настолько потрясена его работами, что университет Христиании в том же году специально для него создал новую должность. Со своим бывшим учителем Людвигом Силовом они взялись за издание собрания сочинений Абеля. В 1874 году Ли женился на Анне Бирх; всего у них было трое детей.
Теперь Ли сосредоточился на конкретной задаче, представлявшейся ему заслуживающей внимания. В математике имеется много видов уравнений, но особенно важны два. Первый — это алгебраические уравнения типа тех, что так эффективно изучали Абель и Галуа. Второй вид — это дифференциальные уравнения, введенные Ньютоном в его работе о законах природы. Такие уравнения включают в себя концепции из анализа и оперируют не самими физическими величинами, а тем, как эти величины изменяются с течением времени. Более точно — они задают скорость изменения величин. Например, наиболее важный закон движения Ньютона гласит, что ускорение тела пропорционально полной силе, действующей на него. Ускорение есть скорость изменения скорости. Вместо того чтобы непосредственно сообщить нам, какова скорость тела, закон говорит, какова скорость изменения скорости. Аналогичным образом другое уравнение, выведенное Ньютоном для объяснения того, как изменяется температура тела
