представляют собой многомерные аналоги узоров, образованных отражаемыми объектами в калейдоскопе.

Структура в основе доказательства Киллинга состоит в том, что поиск всех возможных простых алгебр Ли можно вести, разбивая алгебры на симпатичные куски, аналогичные структурам, обнаруженным в su (n). Тогда классификация сводится к геометрии этих кусков с использованием их чудесных симметрий. Разобравшись с геометрией этих кусков, можно привязать результаты к задаче, которую на самом деле требовалось решить, — задаче нахождения возможных простых алгебр Ли.

Киллинг выразил это таким образом: «Корни простой системы соответствуют простой группе. Обратно, можно рассматривать корни простой группы как порожденные некоторой простой системой. Таким образом получаются простые группы. Для каждого l имеются четыре структуры, а при l = 2, 4, 6, 7, 8 к ним добавляются исключительные простые группы». Здесь слово «группа» используется как сокращение выражения «инфинитезимальная группа», что в наши дни называется алгеброй Ли, а l — размерность системы корней.

Четыре структуры, о которых говорит Киллинг, — это алгебры Ли su(n), so (2n), so(2n + 1) и sp(2n), соответствующие семействам групп SU(n), SO(2n), SO (2n + 1) и Sp(2n) — унитарным группам, ортогональным группам в пространстве четной размерности, ортогональным группам в пространстве нечетной размерности и симплектическим группам в пространстве четной размерности.

Симплектические группы служат симметриями переменных «координата-импульс», введенных Гамильтоном в его формулировке механики, и число размерностей всегда четно, потому что переменные координата-импульс объединены в пары. Помимо этих четырех семейств Киллинг утверждал существование в точности шести других простых алгебр Ли.

Он был почти прав. В 1894 году французский геометр Эли Картан заметил, что две Киллинговы 56- мерные алгебры — это на самом деле одна и та же алгебра, рассматриваемая двумя различными способами. Это означает, что имеется только пять исключительных простых алгебр Ли, соответствующих пяти исключительным простым группам Ли: старая знакомая Киллинга G₂ и четыре других, которые сейчас называются F₄, E₆, Е₇ и E₈.

Это на редкость любопытный ответ. Бесконечные семейства в целом понятны — они связаны с различными геометриями естественных типов в произвольном числе размерностей. Но пять исключительных групп Ли, по видимости, не связаны ни с чем геометрическим, и их размерности не следуют никакому правилу. Чем выделены пространства размерностей 14, 56, 78, 133 и 248[50]? Что стоит за этими числами? Представьте себе, что требуется перечислить все формы, которые может иметь кирпич, а ответ оказывается чем-то вроде такого:

• вытянутые параллелепипеды размеров 1, 2, 3, 4, …,

• кубы размеров 1, 2, 3, 4, …,

• плиты размеров 1, 2, 3, 4, …,

• пирамиды размеров 1, 2, 3, 4, ….

Само по себе это выглядит прекрасно, но далее список продолжается так:

• тетраэдры размера 14,

• октаэдры размера 52,

• додекаэдры размера 78,

• додекаэдры размера 133,

• додекаэдры размера 248.

И все, больше ничего нет.

Почему существуют кирпичи этих странных форм и размеров? Для чего они?

Это казалось совершенно безумным.

Настолько безумным, что Киллинга огорчал факт существования исключительных групп, и некоторое время он надеялся, что это ошибка, которую ему удастся устранить. Они нарушали элегантность его классификации. Но они в ней присутствовали, и мы начинаем в конце концов понимать почему.

Во многих отношениях эти пять исключительных групп Ли кажутся теперь гораздо более интересными, чем четыре бесконечных семейства. Они представляются важными в физике частиц, как мы увидим позже; они определенно важны и в математике. И у них есть тайное единство, до конца не проясненное, роднящее их с кватернионами Гамильтона и даже с еще более любопытным их обобщением — октонионами. Но об этом — в свое время.

За всем этим стоит ряд чудесных идей, автор которых — Киллинг. Строго говоря, в его работах содержалось несколько ошибок — некоторые доказательства на самом деле не вполне работали. Но все эти ошибки давным-давно исправлены.