жизненный путь на какой-нибудь низкооплачиваемой академической службе — или и вовсе безработными.) Гораздо правдоподобнее выглядит иная картина: способность рассуждать о весьма абстрактно определяемых бесконечных множествах, бесконечных множествах бесконечных множеств и т.д. никаких особых преимуществ в борьбе за выживание нашим далеким предкам дать просто не могла. Этих самых предков заботили практические повседневные проблемы — такие, как постройка убежищ, изготовление одежды, изобретение ловушки для мамонтов или, несколько позднее, одомашнивание животных и выращивание урожая (см. рис. 3.1).

Разумно предположить, что упомянутые преимущества, которыми, очевидно, все же обладали наши предки, происходили из качеств, необходимых для решения как раз таких, практических проблем, а уже потом, гораздо позднее, выяснилось, что эти же качества замечательно подходят и для решения проблем математических — этакий побочный результат. Во всяком случае, такой ход событий полагаю более или менее правдоподобным я сам. Развивая это предположение, можно допустить, что под давлением естественного отбора человек каким-то образом приобрел или развил в себе некую общую способность понимать. Эта способность понимать, проникать в суть вещей, не была связана с какими-то конкретными областями его деятельности и оказывалась полезной буквально во всем. То же сооружение жилищ или ловушек для мамонтов существенно усложнилось бы, не обладай человек способностью понимать вещи и явления в их общности. При этом лично я полагаю, что Homo sapiens был отнюдь не уникален в своей способности понимать. Такой же способностью обладали, возможно, и многие другие животные, составлявшие человеку конкуренцию в борьбе за существование, однако обладали в меньшей степени, в результате чего человек, в силу более интенсивного развития этой способности, получил над ними весьма существенное преимущество.

Сложности с такой точкой зрения возникают как раз тогда, когда мы начинаем рассматривать наследуемую способность к пониманию как нечто по своей природе алгоритмическое. Как нам уже известно из предшествующих рассуждений и доказательств, любая (алгоритмическая) способность к пониманию, достаточно сильная для того, чтобы ее обладатель оказался в состоянии разобраться в тонкостях математических обоснований, в частности, гёделевского доказательства в представленном мною варианте, должна быть обусловлена процедурой настолько замысловатой и непостижимой, что о ней (или ее роли) не может знать даже сам обладатель этой способности. Наш прошедший через испытания естественного отбора гипотетический алгоритм, по всей видимости, достаточно силен, ведь еще во времена наших далеких предков он уже включал в область своей потенциальной применимости правила всех формальных систем, рассматриваемых сегодня математиками как безоговорочно непротиворечивые (или неопровержимо обоснованные, если речь идет о Π₁-высказываниях, см. §2.10, комментарий к Q10). Сюда почти наверняка входят и правила формальной системы Цермело—Френкеля ZF, или, возможно, ее расширенного варианта, системы ZFC (иначе говоря, самой ZF с добавлением аксиомы выбора) — системы (см. §§3.3 и 2.10, комментарий к Q10), которую многие математики сегодня рассматривают как источник абсолютно всех необходимых для обычной математики методов построения рассуждений, — а также все частные формальные системы, получаемые из системы ZF посредством применения к ней процедуры гёделизации сколько угодно раз, и кроме того, все другие формальные системы, которые могут быть получены математиками посредством тех или иных озарений и рассуждений — скажем, на основании открытия, суть которого состоит в том, что системы, полученные в результате упомянутой гёделизации, всегда являются неопровержимо обоснованными, или исходя из иных рассуждений еще более основополагающего характера. Такой алгоритм должен был также включать в себя (в виде собственных частных экземпляров) потенциальные способности к установлению тонких различий, отделению справедливых аргументов от ничем не обоснованных во всех тех, тогда еще не открытых, областях математики, которые сегодня оккупируют страницы специальных научных журналов. Все вышеперечисленные способности должны были оказаться каким-то образом закодированы внутри этого самого — гипотетического, непознаваемого или, если угодно, непостижимого — алгоритма, и вы хотите, чтобы мы поверили, что он возник исключительно в результате естественного отбора, в ответ на какие-то внешние условия, в которых нашим далеким предкам приходилось бороться за выживание. Конкретная способность к отвлеченным математическим рассуждениям не могла дать своему обладателю никаких непосредственных преимуществ в этой борьбе, и я со всей определенностью утверждаю, что для возникновения подобного алгоритма не существовало и не могло существовать никаких естественных причин.

Однако стоит нам допустить, что «способность понимать» имеет неалгоритмическую природу, как ситуация в корне меняется. Теперь уже нет необходимости приписывать этой способности какую-то неимоверную сложность, вплоть до полной непознавамости или непостижимости. Более того, она может оказаться гораздо ближе к тому, что «математики, как им кажется, делают». Способность к пониманию представляется мне весьма простым и даже обыденным качеством. Ее сложно определить в каких-либо точных терминах, однако она настолько близка нам и привычна, что в принципиальную невозможность корректного моделирования понимания посредством какой бы то ни было вычислительной процедуры верится с трудом. И все же так оно и есть. Для создания подобной вычислительной модели необходима алгоритмическая процедура, так или иначе учитывающая все возможные варианты развития событий в будущем, — т.е. алгоритм, в котором должны быть, скажем так, предварительно запрограммированы ответы на все математические вопросы, с которыми нам когда-либо предстоит столкнуться. Если непосредственному программированию эти ответы не подлежат, то нужно обеспечить какие-то вычислительные способы для их отыскания. Как мы уже успели убедиться, если эти «вычислительные способы» (или «предварительное программирование») охватывают все, что когда- либо было или будет доступно человеческому пониманию, то сами они для человека становятся непостижимыми. Откуда же слепым эволюционным процессам, нацеленным исключительно на обеспечение выживания сильнейших, было «знать» о том, что такая-то непознаваемо обоснованная вычислительная процедура окажется когда-то в будущем способной решать абстрактные математические задачи, не имеющие абсолютно никакого отношения к проблемам выживания?

Дабы не подвергать читателя искушению чересчур поспешно смириться с абсурдностью описанной выше возможности, я должен несколько прояснить картину, на что мне уже, несомненно, указывают сторонники вычислительного подхода. Как уже отмечалось в §3.5, эти самые сторонники имеют в виду не столько алгоритм, который, в известном смысле, «предварительно запрограммирован» на предоставление решений математических проблем, сколько некую вычислительную систему, способную обучаться. Такая система может состоять, в основе своей, из «восходящих» компонентов, соединенных по мере необходимости с какими-либо «нисходящими» процедурами (см. § 1.5) [23].

Возможно, кому-то покажется, что называть «нисходящей» систему, возникшую исключительно в результате слепого давления естественного отбора, не совсем уместно. Этим термином я буду обозначать здесь те аспекты нашей гипотетической алгоритмической процедуры, которые для данного организма зафиксированы генетически и не подвержены изменению под влиянием последующего жизненного опыта или обучения каждого отдельного представителя вида. Хотя упомянутые