Прежде всего, необходимо рассмотреть следующий весьма важный вопрос: может ли оказаться, что за различные виды математического понимания, свойственные разным людям, отвечает множество весьма различных, возможно, неэквивалентных алгоритмов? В самом деле, уж в чем мы можем быть с самого начала уверены, так это в том, что даже профессиональные математики часто воспринимают математические «реалии» совершенно по-разному. Для одних в высшей степени важны зрительные образы, тогда как другим удобнее иметь дело с четкими логическими структурами, изящными абстрактными доказательствами, подробными аналитическими обоснованиями или, возможно, чисто алгебраическими манипуляциями. В этой связи следует отметить, что, по некоторым предположениям, геометрическое, например, и аналитическое мышление осуществляются разными полушариями мозга (соответственно, правым и левым)^{44}. Однако часто бывает так, что всеми этими способами воспринимается одна и та же математическая истина. С алгоритмической точки зрения первое впечатление таково: алгоритмы, отвечающие за математическое мышление различных людей, должны быть как минимум абсолютно неэквивалентными. Однако, несмотря на существенное различие между образами, которые формируют в сознании отдельные математики (или прочие смертные) для собственного понимания или для сообщения другим математических идей, математическое восприятие обладает одним поразительным свойством: когда математики наконец решают для себя, что именно следует считать неопровержимо истинным, никаких разногласий по этому поводу больше не возникает, разве что поводом для такого разногласия послужит какая-либо действительная, опознаваемая (а следовательно, и исправимая) ошибка в рассуждениях того или иного математика (еще один возможный повод для разногласий предоставляет принципиальное расхождение во мнениях по некоторым — весьма немногочисленным — фундаментальным вопросам; см. комментарий к Q11, в особенности утверждение G***). В целях упрощения изложения я позволю себе в дальнейшем последнее соображение проигнорировать. Хотя это соображение и имеет некоторое отношение к предмету нашего разговора, на выводы оно заметного влияния не оказывает. (Придерживаемся ли мы нескольких возможных неэквивалентных точек зрения на какой-то вопрос или все соглашаемся на одной — существенного различия между этими двумя ситуациями в данном случае нет.)

Восприятие математической истины может осуществляться самыми различными способами. Вряд ли можно усомниться в том, что вне зависимости от конкретной природы физических процессов, обусловливающих осознание человеком истинности какого-либо математического утверждения, эти процессы должны весьма и весьма разниться от индивидуума к индивидууму, даже если речь идет об одном и том же утверждении. Иначе говоря, если математики при составлении суждений о неопровержимой истинности того или иного утверждения просто-напросто применяют какие-то вычислительные алгоритмы, то у разных математиков эти самые алгоритмы должны весьма значительно различаться по своей структуре. При этом упомянутые алгоритмы должны быть еще и эквивалентны друг другу в некотором очевидном смысле.

Это условие, возможно, не так уж и абсурдно, как может показаться на первый взгляд — по крайней мере, с точки зрения математически возможного. Весьма разные на вид машины Тьюринга могут давать на выходе идентичные результаты. (Рассмотрим, например, машину Тьюринга, построенную следующим образом: при выполнении действия над натуральным числом n мы получаем в результате 0 всякий раз, когда n выразимо в виде суммы четырех квадратов, и 1, когда n таким образом выразить нельзя. Результат вычисления такой машины полностью совпадает с результатом другой машины, построенной таким образом, чтобы давать на выходе 0 при подаче на вход любого натурального числа n — ибо известно, что в виде суммы четырех квадратов можно представить любое натуральное число; см. §2.3.) Из идентичности внешних конечных результатов двух алгоритмов вовсе не обязательно следует, что эти алгоритмы окажутся подобными по внутренней структуре. Однако, в определенном смысле, рассматриваемое допущение еще более запутывает вопрос о происхождении нашего гипотетического непостижимого алгоритма(-ов) для установления математической истины, поскольку теперь нам предстоит иметь дело уже с несколькими такими алгоритмами, достаточно отличными друг от друга по внутренней структуре, но при этом существенно эквивалентными в отношении получаемого на выходе результата.

Какую же роль играет во всем этом естественный отбор? Возможно ли, чтобы естественным путем возник некий алгоритм F (или несколько таких алгоритмов), обусловливающий наше математическое понимание и при этом непознаваемый сам по себе (если верить допущению III), либо лишь в отношении выполняемых им функций (в соответствии с допущением II)? Начнем с повторения того, о чем мы уже говорили в начале §3.1. В процессе получения своих предположительно неопровержимо истинных математических выводов математики вовсе не считают, что они просто следуют некоему набору непознаваемых правил — правил настолько сложных, что, с математической точки зрения, они непостижимы в принципе. Напротив, они полагают, что эти выводы представляют собой результат неких обоснованных рассуждений (пусть зачастую длинных и внешне запутанных), которые в конечном счете опираются на четкие неопровержимые истины, понятные, в принципе, любому.

Более того, рассматривая ситуацию с позиций здравого смысла или на уровне логических дескрипций, мы можем со всей определенностью утверждать, что математики и в самом деле делают то, что, как им кажется, они делают. Этот факт не подлежит никакому сомнению, а важность его переоценить невозможно. Если мы полагаем, что математики в своей деятельности следуют некоему набору непознаваемых и непостижимых вычислительных правил (в соответствии с возможными вариантами III или II), то, значит, они делают еще и это — одновременно с тем, что, как им кажется, они делают, но на другом уровне дескрипции. Каким-то образом алгоритмическое следование правилам должно давать тот же самый результат, что дают математическое понимание и интуиция — по крайней мере, на практике. Если уж мы твердо вознамерились стать приверженцами либо A, либо D, то нам предстоит попытаться поверить в то, что такая возможность является вполне правдоподобной.

Нужно помнить и о том, какие блага дают эти алгоритмы. Предполагается, что они наделяют своего «носителя» — по крайней мере, в принципе — способностью составлять корректные математические суждения об абстрактных сущностях, весьма далеких от непосредственного жизненного опыта, что, по большей части, не дает этому самому носителю сколько-нибудь заметных практических преимуществ. Любой, кому хоть раз доводилось заглянуть в какой-нибудь современный чисто математический научный журнал, знает, насколько далеки заботы математиков от каких бы то ни было практических вопросов. Тонкости теоретических обоснований, обычно публикуемых в таких научных журналах, непосредственно доступны лишь очень небольшому количеству людей; и все же каждое такое рассуждение состоит, в конечном счете, из каких-то элементарных шагов, и каждый такой шаг может, в принципе, понять любой мыслящий индивидуум, даже если речь идет об абстрактных рассуждениях о сложно определяемых бесконечных множествах. Не следует забывать и о том, что алгоритм — или, возможно, целый ряд альтернативных, но математически эквивалентных алгоритмов, — который дает человеку потенциальную способность понимать упомянутые рассуждения, каким-то образом был изначально записан не где-нибудь, а в нуклеотидных последовательностях молекулы ДНК. Если мы в это верим, то нам следует весьма серьезно задуматься, как же так получилось, что подобный алгоритм (или алгоритмы) развился в результате естественного отбора. Очевидно, что даже в настоящее время профессия математика не дает никаких преимуществ с точки зрения борьбы за существование. (Подозреваю, что ее можно даже считать неблагоприятным фактором. Вследствие своего взрывного темперамента и странноватых пристрастий пуристы со склонностью к математике имеют тенденцию заканчивать свой