Тьюринга, которые не завершаются; см. комментарий к возражению Q10). В дальнейшем вполне достаточно интерпретировать сочетание «математическое понимание» как раз в таком, ограниченном смысле (см. формулировку G**).

В зависимости от познаваемости предположительно 

лежащей в основе математического понимания алгоритмической процедуры F (будь то обоснованной или нет), следует четко выделять три совершенно различных случая. Процедура F может быть:

Рассмотрим сначала полностью сознательный случай I. Поскольку и сам алгоритм, и его роль являются познаваемыми, мы вполне можем счесть, что мы о них уже знаем. В самом деле, ничто не мешает нам вообразить, что все наши рассуждения имеют место уже после того, как мы получили в наше распоряжение соответствующее знание — ведь слово «познаваемый» как раз и подразумевает, что такое время, по крайней мере, в принципе, когда-нибудь да наступит. Итак, алгоритм F нам известен, при этом известна и его основополагающая роль в математическом понимании. Как мы уже видели (§2.9), такой алгоритм эффективно эквивалентен формальной системе F. Иными словами, получается, что математическое понимание — или хотя бы понимание математики каким-то отдельным математиком — эквивалентно выводимости в рамках некоторой формальной системы F. Если мы хотим сохранить хоть какую-то надежду удовлетворить выводу G, к которому нас столь неожиданно привели изложенные в предыдущей главе соображения, то придется предположить, что система F является необоснованной. Однако, как это ни странно, необоснованность в данном случае ситуацию ничуть не меняет, поскольку, в соответствии с I, известная формальная система F является действительно известной, то есть любой математик знает и, как следствие, верит, что именно эта система лежит в основе его (или ее) математического понимания. А такая вера автоматически влечет за собой веру (пусть и ошибочную) в обоснованность системы F. (Согласитесь, крайне неразумно выглядит точка зрения, в соответствии с которой математик позволяет себе не верить в самые фундаментальные положения собственной заведомо неопровержимой системы взглядов.) Независимо от того, является ли система F действительно обоснованной, вера в ее обоснованность уже содержит в себе веру в то, что утверждение G(F) (или, как вариант, Ω(F), см. §2.8) истинно. Однако, поскольку теперь мы полагаем (исходя из веры в справедливость теоремы Гёделя), что истинность утверждения G (F) в рамках системы F недоказуема, это противоречит предположению о том, что система F является основой всякого (существенного для рассматриваемого случая) математического понимания. (Это соображение одинаково справедливо как для отдельных математиков, так и для всего математического сообщества в целом; его можно применять индивидуально к любому из всевозможных алгоритмов, предположительно составляющих основу мыслительных процессов того или иного математика. Более того, согласно предварительной договоренности, для нас на данный момент важна применимость этого соображения лишь в той области математического понимания, которая имеет отношение к доказательству Π₁- высказываний.) Итак, невозможно знать наверняка, что некий гипотетический известный необоснованный алгоритм F, предположительно лежащий в основе математического понимания, и в самом деле выполняет эту роль. Следовательно, случай I исключается, независимо от того, является система F обоснованной или нет. Если система F сама по себе познаваема, то следует рассмотреть возможность II, суть которой заключается в том, что система F все же может составлять основу математического понимания, однако узнать об этой ее роли мы не в состоянии. Остается в силе и возможность III: сама система F является как неосознаваемой, так и непознаваемой.

На данный момент мы достигли следующего результата: случай I (по крайней мере, в контексте полностью нисходящих алгоритмов) как сколько-нибудь серьезную возможность рассматривать нельзя; тот факт, что система F может в действительности оказаться и необоснованной, как выяснилось, сути проблемы ничуть не меняет. Решающим фактором здесь является невозможность точно установить, является та или иная гипотетическая система F (независимо от ее обоснованности) основой для формирования математических убеждений или же нет. Дело не в непознаваемости самого алгоритма, но в непознаваемости того факта, что процесс понимания действительно происходит в соответствии с данным алгоритмом.

Перейдем к случаю II и попытаемся серьезно рассмотреть возможность того, что математическое понимание на деле эквивалентно некоторому сознательно познаваемому алгоритму либо формальной системе, однако эквивалентность эта принципиально непознаваема. Иными словами, даже при условии познаваемости той или иной гипотетической формальной системы F мы никоим образом не можем убедиться в том, что именно эта конкретная система действительно лежит в основе нашего математического понимания. Правдоподобно ли такое предположение?

Если упомянутая гипотетическая формальная система F не является уже известной, то в этом случае нам, как и ранее, следует полагать, что она может, по крайней мере, в принципе, когда-нибудь таковой стать. Вообразим, что этот светлый день наконец наступил, и допустим, что в нашем распоряжении имеется точное и подробное описание этой самой системы. Предполагается, что формальная система F, будучи, возможно, крайне замысловатой, все же достаточно проста для того, чтобы мы оказались способны, по крайней мере, в принципе, постичь ее на вполне сознательном уровне. При этом нам не позволено испытывать уверенность в том, что система F действительно целиком и полностью охватывает всю совокупность наших твердых математических убеждений и интуитивных озарений (по крайней мере в том, что касается Π₁-высказываний). Это (вообще-то вполне логичное) предположение оказывается на деле в высшей степени неправдоподобным, в причинах чего мы и попытаемся разобраться. Более того, несколько позднее я покажу, что даже будь оно истинным, это не принесло бы никакой радости тем ИИ-энтузиастам, которые видят смысл жизни в создании робота-математика. Мы еще поговорим об этом в конце данного раздела и — более подробно — в §§3.15 и 3.29.

Дабы подчеркнуть тот факт, что существование подобной системы F и в самом деле следует полагать логически возможным, вспомним о «машине для доказательства теорем», возможности создания которой, согласно Гёделю, логически исключить нельзя