Надо сказать, что вышеприведенное допущение ни в коей мере не противоречит G (и я ничуть не сомневаюсь, что Гёделю был хорошо известен тот недвусмысленный вывод, какой в моей формулировке получил обозначение G). Гёдель допускал логическую возможность того, что разум математика может функционировать в соответствии с некоторым алгоритмом, о котором сам математик не знает, либо знает, но в таком случае не может быть однозначно уверен в его обоснованности (… доказать … невозможно, … только корректные теоремы…). В соответствии с моей собственной терминологией такой алгоритм следует отнести к категории «непознаваемо обоснованных». Разумеется, совсем иное дело действительно поверить в возможность того, что деятельность разума математика и в самом деле определяется таким вот непознаваемо обоснованным алгоритмом. Похоже, сам Гёдель в это так и не поверил — и оказался в результате окружен компанией мистиков (точка зрения D), которые полагают, что средствами науки о феноменах физического мира разум объяснить невозможно.
Что же касается Тьюринга, то он, по-видимому, мистическую точку зрения не принял, будучи в то же время солидарен с Гёделем в том, что мозг, как и всякий другой физический объект, должен функционировать каким-либо вычислимым образом (вспомним о «тезисе Тьюринга», §1.6). Таким образом, Тьюрингу пришлось искать какой-то другой способ обойти затруднение в виде утверждения G. При этом особенно значимым ему показался тот факт, что математикам-людям свойственно делать ошибки; если мы хотим, чтобы наш компьютер стал подлинно разумным, следует позволить ему хоть иногда ошибаться{39} ;
«Иными словами, это означает, что если мы требуем от машины непогрешимости, то не стоит ожидать от нее еще и разумности. Существует несколько теорем, суть которых почти буквально сводится к вышеприведенному утверждению. Однако в этих теоремах ничего не говорится о степени разумности, которую нам может продемонстрировать машина, не претендующая на непогрешимость».
Под «теоремами» Тьюринг, вне всякого сомнения, подразумевает теорему Гёделя и другие аналогичные теоремы — такие, например, как его собственная, «вычислительная» версия теоремы Гёделя. То есть, по Тьюрингу, получается, что наиболее существенной способностью человеческого математического мышления является способность ошибаться, благодаря которой свойственное (предположительно) разуму неточно-алгоритмическое функционирование обеспечивает большую мощность, нежели возможно получить посредством каких угодно полностью обоснованных алгоритмических процедур. Исходя из этого допущения, Тьюринг предложил способ обойти ограничение, налагаемое следствиями из теоремы Гёделя: мыслительная деятельность математика подчиняется-таки некоему алгоритму, только не «непознаваемо обоснованному», а формально необоснованному. Таким образом, точка зрения Тьюринга приходит в полное согласие с утверждением G, а сам Тьюринг, по-видимому, присоединяется к сторонникам точки зрения A.
Завершая дискуссию, я хотел бы представить мои собственные причины усомниться в том, что «необоснованность» управляющего разумом математика алгоритма может послужить подлинным объяснением тому, что в этом самом разуме происходит. Как бы ни обстояло дело в действительности, в самой идее о том, что превосходство человеческого разума над точной машиной достигается за счет неточности разума, мне видится какое-то глубинное противоречие, особенно когда речь — как в нашем случае — идет о способности математика открывать неопровержимые математические истины, а не о его оригинальности или творческих способностях. Поразительно, что два великих мыслителя, какими, несомненно, являются Гёдель и Тьюринг, руководствуясь соображениями вроде утверждения G, пришли к выводам (пусть и различным), которые многие из нас склонны считать, скажем так, маловероятными. Кроме того, весьма интересно поразмыслить о том, к каким бы выводам они пришли, имей они шанс хоть сколько-нибудь всерьез предположить, что физический процесс может иногда оказаться в основе своей невычислимым — в соответствии с точкой зрения C, ради продвижения которой и была написана эта книга.
В последующих разделах (особенно, в §§3.2-3.22) я представлю вашему вниманию несколько детальных обоснований (некоторые из них довольно сложны, запутаны или специальны), целью которых является демонстрация неспособности вычислительных моделей A и B выступить в качестве вероятной основы для исследования феномена математического понимания. Если читатель не нуждается в подобном убеждении либо не склонен погружаться в детали, то я бы порекомендовал ему (или ей) все же начать чтение, а затем, когда уж совсем надоест, переходить сразу к итоговому воображаемому диалогу (§3.23). Если у вас затем появится желание вернуться к пропущенным рассуждениям, буду только рад, если же нет — забудьте о них и читайте дальше.
3.2. Способен ли необоснованный алгоритм познаваемым образом моделировать математическое понимание?
Согласно выводу G, для того чтобы математическое понимание могло оказаться результатом выполнения некоего алгоритма, этот алгоритм должен быть необоснованным или непознаваемым, если же он сам по себе обоснован и познаваем, то о его обоснованности должно быть принципиально невозможно узнать наверняка (такой алгоритм мы называем непознаваемо обоснованным); кроме того, возможно, что различные математики «работают» на различных типах таких алгоритмов. Под «алгоритмом» здесь понимается просто какая-нибудь вычислительная процедура (см. §1.5), т.е. любой набор операций, который можно, в принципе, смоделировать на универсальном компьютере с неограниченным объемом памяти. (Как нам известно из обсуждения возражения Q8, §2.6, «неограниченность» объема памяти в данном идеализированном случае на результаты рассуждения никак не влияет.) Такое понятие алгоритма включает в себя нисходящие процедуры, восходящие самообучающиеся системы, а также различные их сочетания. Сюда, например, входят любые процедуры, которые можно реализовать с помощью искусственных нейронных сетей (см. §1.5). Этому определению отвечают и иные типы восходящих механизмов — например, так называемые «генетические алгоритмы», повышающие свою эффективность с помощью некоей встроенной процедуры, аналогичной дарвиновской эволюции (см. §3.11).
О специфике приложения аргументации, представляемой в настоящем разделе (равно как и доводов, выдвинутых в главе 2), к восходящим процедурам я еще буду говорить в §§3.9-3.22 (краткое изложение их можно найти в воображаемом диалоге, §3.23). Пока же, для большей ясности изложения, будем рассуждать, исходя из допущения, что в процессе участвует один-единственный тип алгоритмических процедур, а именно — нисходящие. Такую алгоритмическую процедуру можно относить как к отдельному математику, так и к математическому сообществу в целом. В комментариях к возражениям Q11 и Q12, §2.10, рассматривалось предположение о том, что разным людям могут быть свойственны различные обоснованные и известные алгоритмы, причем мы пришли к заключению, что такая возможность не влияет на результаты рассуждения сколько-нибудь значительным образом. Возможно также, что разные люди постигают истину посредством различных необоснованных и непознаваемых алгоритмов; к этому вопросу мы вернемся несколько позже (см. §3.7). А пока, повторюсь, будем считать, что в основе математического понимания лежит одна-единственная алгоритмическая процедура. Можно, кроме того, ограничить рассматриваемую область той частью математического понимания, которая отвечает за доказательство Π1-высказываний (т.е. определений тех операций машины
