См. также [231], [232] и [163].

О некоторых проблемах, с которыми сталкивались компьютерные системы, пытавшиеся самостоятельно «делать математику», можно прочесть у Д. Фридмана [124]. Отметим, что в общем случае такие системы не слишком преуспели. Они по-прежнему остро нуждаются в помощи человека.

Цитата приводится по [329] и [376]. Она, судя по всему, является частью Гиббсовских лекций Гёделя, прочитанных в 1951 году; полный текст имеется в Собрании сочинений Гёделя, том 3 [160]. См. также [377], с. 118.

См. [198], с. 361. Цитата взята из лекции Тьюринга, прочитанной в 1947 году перед Лондонским математическим обществом и приводится по изданию [370].

Упомянутая процедура заключается во вложении системы ZF в систему Гёделя— Бернайса; см. [56], глава 2.

См. [181], с. 74.

Это самое количество состояний Вселенной (число порядка 10¹⁰¹²³ или около того) представляет собой объем доступного фазового пространства (измеренный в абсолютных единицах из §6.11) некоторой области, содержащей в себе такое количество вещества, какое заключено внутри наблюдаемой нами в настоящий момент Вселенной. Величину этого объема можно оценить, применив формулу Бекенштейна—Хокинга для энтропии черной дыры с массой, равной массе упомянутого количества вещества, и найдя экспоненту от этой энтропии (в абсолютных единицах из §6.11). См. НРК, с. 340-344.

См. [267], [268].

См., напр., [102] (и НРК, глава 9).

Популярно об этих исследованиях рассказано в [153] и [337].

Из классической теории фон Неймана и Моргенштерна (1944).

См. [153], [337].

Популярное изложение этих вопросов можно найти в [350], [351] и [329].

Гипотеза Тебо — это весьма занимательная (и даже не слишком сложная) теорема из плоской евклидовой геометрии, которую, тем не менее, не так-то просто доказать непосредственно. Как выяснилось, единственный способ ее доказательства заключается в том, чтобы отыскать подходящее обобщение (что