Весьма живо и популярно все это описано в [389].

Подобное предположение выдвинул, например, Ричард Доукинс в своих «Рождественских лекциях» (ВВС, 1992 г.).

См., например, рассказ Фридмена [124] о работе Лената и других исследователей в этом направлении.

Кому-то, возможно, покажется, что это совершенно «очевидно» и уж никак не может служить предметом спора среди математиков! Проблема, однако, существует, и возникает она в связи с понятием «существования» применительно к большим бесконечным множествам. (См., например, [350], [329], [266].) На примере парадокса Рассела мы уже убедились, что в таких вопросах необходимо проявлять особую осторожность.

Согласно одной точке зрения, множество не считается необходимо существующим, если нет четкого правила (не обязательно вычислимого), устанавливающего, какие элементы в это множество следует включать, а какие — нет. Как раз этого правила аксиома выбора нам и не предоставляет, поскольку в ней нет правила, определяющего, какой элемент следует взять из каждого множества совокупности. (Некоторые из следствий аксиомы выбора интуитивно не понятны и почти парадоксальны. Вероятно, в этом и состоит одна из причин возникновения разногласий по данному вопросу. Более того, я не совсем уверен, что знаю, какой позиции придерживаюсь в этом отношении я сам!)

В заключительной главе своей книги, написанной в 1966 году, Коэн подчеркивает, что, хотя он и показал, что континуум-гипотеза является НЕРАЗРЕШИМОЙ в рамках процедур системы ZF, вопрос о том, является ли она действительно истинной, был оставлен им без внимания, — и выдвигает некоторые предположения относительно того, каким образом этот вопрос можно действительно решить! То есть Коэн, со всей очевидностью, не считает, что выбор между принятием или непринятием континуум-гипотезы есть предмет абсолютно произвольный. Это расходится с нередко высказываемым относительно следствий из результатов Гёделя—Коэна мнением, суть которого сводится к тому, что существуют многочисленные «альтернативные теории множеств», для математики в равной степени «справедливые». Такие замечания свидетельствуют о том, что Коэн, подобно Гёделю, является подлинным платонистом, для которого вопросы математической истины ни в коем случае не произвольны, но абсолютны. Очень похожих взглядов придерживаюсь и я, см. §8.7.

См., например, [202], [37].

См., например, различные комментарии, приведенные в Behavioral and Brain Sciences, 13 (1990), 643- 705.

Терминология была предложена Хофштадтером в [202]. Согласно «другой» теореме Гёделя — так называемой теореме о полноте, — подобные нестандартные модели существуют всегда.

Вообще говоря, это зависит от того, какие именно утверждения считать частью так называемой «евклидовой геометрии». Если пользоваться обычной терминологией логиков, то система «евклидовой геометрии» включает только утверждения некоторого частного вида, причем оказывается, что истинность или ложность этих утверждений можно определить с помощью алгоритмической процедуры; отсюда и утверждение, что евклидову геометрию можно описать с помощью формальной системы. Однако в других интерпретациях обычная «арифметика» тоже могла бы считаться частью «евклидовой геометрии», что допустило бы классы утверждений, которые невозможно разрешить алгоритмическим путем. То же самое произошло бы, если бы мы рассмотрели задачу о замощении плоскости полиомино как составляющую евклидовой геометрии, что, казалось бы, вполне естественно. В этом смысле описать геометрию Евклида формально ничуть не проще, чем арифметику!

См. комментарий М. Дэвиса в [74].