и так далее. Из того, что вероятности всех альтернативных вариантов должны в сумме давать единицу, можно вывести важное свойство, справедливое для любой матрицы плотности:

Как же использовать матрицу плотности для вычисления вероятностей, результатов измерения? Рассмотрим сначала простой случай примитивного измерения. Спросим, находится ли система в физическом состоянии |ψ〉 (ДА) или в ином состоянии, ортогональном |ψ〉 (НЕТ). Само измерение представляет собой математический объект (так называемый проектор), очень похожий на матрицу плотности:

Вероятность p получения ответа ДА определяется из выражения

где произведение DE само представляет собой объект, подобный матрице плотности. Оно вычисляется с помощью несложных алгебраических правил, необходимо лишь соблюдать порядок «умножений». Например, для вышеприведенной двучленной суммы D = a| α〉〈α| + b|β〉〈β| имеем

Члены 〈α|ψ〉 и 〈β|ψ〉 могут «коммутировать» с другими выражениями, так как они представляют собой просто числа, порядок же таких «объектов», как | α〉 и 〈ψ| необходимо тщательно соблюдать. Далее получаем (учитывая, что zz' = | z²|, см. §5.8)

Напомню (см. §5.13), что величины | 〈α|ψ〉|² и | 〈β|ψ〉| ² представляют собой квантовые вероятности соответствующих конечных состояний |α〉 и |β〉, тогда как a и b суть классические вклады в полную вероятность. Таким образом, в окончательном выражении квантовые и классические вероятности оказываются смешаны.

В случае более общего измерения типа «да/нет» рассуждение в целом не изменяется, только вместо определенного выше проектора «£» используется проектор более общего вида

где |ψ〉, |φ〉, …, |χ〉 — взаимно ортогональные нормированные состояния, заполняющие пространство ДА-состояний в гильбертовом пространстве. Как мы видим, проекторы обладают общим свойством

Вероятность получения ответа ДА при измерении, определяемом проектором E, системы с матрицей плотности D равна следу (DE) — в точности, как и в предыдущем примере.

Отметим важный факт: искомую вероятность можно вычислить, если нам всего-навсего известны матрица плотности и проектор, описывающий измерение. Нам не нужно знать, каким именно образом из индивидуальных состояний была составлена матрица плотности. Полная вероятность получается сама собой в виде соответствующей комбинации классических и квантовых вероятностей, а нам не приходится беспокоиться, какая ее часть откуда взялась.

Рассмотрим повнимательнее это любопытное переплетение классических и квантовых вероятностей в матрице плотности. Допустим, например, что у нас имеется частица со спином 1/2, и мы абсолютно не уверены, в каком спиновом состоянии (нормированном) она в данный момент пребывает — | ↑〉 или |↓〉. Предположив, что соответствующие вероятности этих состояний равны 1/2 и 1/2, построим матрицу плотности