квантовомеханических, возникающих в результате процедуры R. Дело в том, что операционными методами различить эти вероятности невозможно, поэтому в операционном же смысле вполне уместным представляется математическое описание (матрица плотности), которое такого различия не делает.
Как выглядит это математическое описание? Я не стану углубляться в ненужные здесь подробности, лишь вкратце изложу основные концепции. Идея матрицы плотности, вообще говоря, весьма изящна[43]. Начать с того, что вместо каждого отдельного состояния | ψ〉 мы используем объект вида
|ψ〉〈ψ|.
Что означает такая запись? Не прибегая к точному математическому определению, которое для нас сейчас несущественно, можно сказать, что это выражение представляет собой особого рода «произведение» (точнее, вид тензорного произведения, см. §5.15) вектора состояния |ψ〉 и «комплексно сопряженного» ему вектора 〈ψ|. Вектор состояния |ψ〉 мы полагаем нормированным (т.е. 〈ψ| ψ〉 = 1); тогда выражение | ψ〉〈ψ| однозначно определяется физическим состоянием, представленным вектором |ψ〉 (поскольку не зависит от изменений фазового множителя |ψ〉 ↣ eiθ|ψ〉, см. §5.10). В системе обозначений Дирака исходный вектор | ψ〉 называется «кет»-вектором, а соответствующий ему 〈ψ| — «бра»-вектором. Бра-вектор 〈ψ| и кет-вектор |φ〉 могут образовывать и скалярное произведение («bra-ket»[44]):
〈ψ|φ〉,
с таким обозначением мы уже встречались в §5.12. Значением скалярного произведения является самое обычное комплексное число, тогда как тензорное произведение | ψ〉〈φ| в матрице плотности дает более сложный математический «объект» — элемент некоторого векторного пространства.
Перейти от непонятного «объекта» к обычному комплексному числу позволяет особая математическая операция, называемая вычислением следа (или суммы элементов главной диагонали) матрицы. Для простого выражения | ψ〉〈φ| эта операция сводится к простой перестановке членов, дающей в результате скалярное произведение:
СЛЕД(|ψ〉〈φ|) = 〈φ|ψ〉.
В случае суммы членов «след» вычисляется линейно: например,
СЛЕД (z| ψ〉〈φ| + w|α〉〈β|) = z〈φ|ψ〉 + w〈β| α〉.
Я не стану в подробностях выводить все математические свойства таких объектов, как 〈ψ| и | ψ〉〈φ|, однако кое о чем упомянуть стоит. Во-первых, произведение | ψ〉〈φ| подчиняется тем же алгебраическим правилам, что перечислены в §5.15 для произведения |ψ〉|φ〉 (за исключением последнего, которое к данному случаю неприменимо):
(z|ψ〉)〈φ| = z(| ψ〉〈φ|) = | ψ〉(z〈φ|),
(|ψ〉 + |χ〉) 〈φ| = | ψ〉〈φ| + | χ〉〈φ|,
|ψ〉(〈φ| + 〈χ|) = | ψ〉〈φ| + | ψ〉〈χ|.
Следует также отметить, что бра-вектор z'〈ψ| является комплексным сопряженным кет-вектора z|ψ〉 (поскольку число z' есть комплексное сопряженное комплексного числа z, см. §5.8), а сумма 〈ψ| + 〈χ| — комплексным сопряженным суммы | ψ〉 + |χ〉.
Допустим, нам нужно составить матрицу плотности, представляющую некоторую комбинацию вероятностей нормированных состояний, скажем, |α〉 и | β〉; вероятности, соответственно, равны a и b. Правильная матрица плотности в данном случае будет иметь вид
D = a| α〉〈α| + b| β〉〈β|.
Для трех нормированных состояний |α〉, | β〉, |γ〉 с соответствующими вероятностями a, b, c имеем
D = a| α〉〈α| + b|β〉〈β| + c| γ〉〈γ|,
