β〉.) Величина |α〉| β〉 представляет одно квантовое состояние — мы вполне можем обозначить его одним вектором состояния, скажем, |х), и, не нарушив ни одного закона, записать
|χ〉 = |α〉| β〉.
Следует особо подчеркнуть, что это понятие «И» не имеет ничего общего с квантовой линейной суперпозицией, которая записывается как сумма векторов состояний | α〉 + |β〉 или, в общем случае, z|α〉 + w| β〉, где z и w — комплексные весовые коэффициенты. Например, если |α〉 и | β〉 — возможные состояния одного фотона (соответствующие, скажем, его расположению в различных точках A и B), то запись |α〉 + | β〉 также представляет возможное состояние того же самого фотона, при котором он замирает в нерешительности где-то между A и B в соответствии с маловразумительными предписаниями квантовой теории, — одного фотона, заметим, никак не двух. Состояние пары фотонов, при котором один находится в точке A, а другой — в точке B, будет представлено уже вектором | α〉|β〉.
Тензорное произведение подчиняется тем же алгебраическим правилам, каким, по нашим представлениям, и должно подчиняться любое уважающее себя произведение:
(z|α〉)| β〉 = z(| α〉|β〉) = | α〉(z| β〉),
(|α〉 + |γ〉)| β〉 = |α〉| β〉 + |γ〉| β〉,
|α〉(|β〉 + | γ〉) = |α〉| β〉 + |α〉| γ〉,
(|α〉|β〉)| γ〉 = |α〉(| β〉|γ〉).
разве что равенство |α〉| β〉 = |β〉| α〉, строго говоря, некорректно. Это, впрочем, отнюдь не означает, что интерпретация понятия «И» в квантовомеханическом контексте предполагает, что совокупная система «| α〉 и |β〉» физически чем-то отличается от совокупной системы «|β〉 и | α〉». Мы попробуем обойти эту проблему посредством несколько более глубокого погружения в таинства действительного поведения Вселенной на квантовом уровне. В дальнейшем под записью |α〉|β〉 мы будем подразумевать не то, что математики называют «тензорным произведением», а скорее то, что в математической физике (с недавних пор) называется грассмановым произведением. Тогда к записанным выше можно добавить еще одно правило:
|α〉|β〉 = ±| β〉|α〉.
Знак «минус» появляется здесь лишь в том случае, когда оба состояния (| α〉 и |β〉) «охватывают» нечетное количество частиц с нецелочисленным спином. (Такие частицы называются фермионами, а их спин принимает значения 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, …. Частицы со спином 0, 1, 2, 3, … называются бозонами и на знак в приведенном выше выражении никак не влияют.) Впрочем, на данном этапе читателю нет необходимости вникать во все эти формальности. До тех пор, пока нас занимает лишь скрывающееся за описанием физическое состояние, «|α〉 и |β〉» ничем не отличается от «|β〉 и |α〉».
Для описания состояний с тремя или большим количеством независимых компонентов мы просто повторяем процедуру. Так, если обозначить индивидуальные состояния этих трех компонентов через | α〉, |β〉 и I7), то состояние, в котором все три компонента наличествуют одновременно, описывается произведением
|α〉|β〉| γ〉,
причем грассманово произведение (|α〉| β〉)|γ〉 (или, что эквивалентно, |α〉(|β〉| γ〉)) описывает то же самое состояние. Аналогичным образом рассматриваются и системы с четырьмя или более независимыми компонентами.
Следует упомянуть и об одном важном свойстве шрёдингеровой эволюции U: эволюция совокупной системы |α〉| β〉 (где |α〉 и | β〉 никак друг с другом не взаимодействуют) есть не что иное, как совокупность эволюции индивидуальных систем. Так, если по истечении некоторого времени t система |α〉 эволюционирует (индивидуально) в систему |α'〉, а система | β〉 эволюционирует (индивидуально) в систему | β'〉, то совокупная система |α〉| β〉 за то же время t эволюционирует в систему |α'〉|β'〉. Аналогично, если у нас имеется три невзаимодействующих компонента |α〉, | β〉 и |γ〉, эволюционирующих, соответственно, в |α'〉, |β'〉 и | γ'〉 то совокупная система |α〉| β〉|γ〉 посредством той же эволюции переходит в состояние |α'〉| β'〉|γ'〉. То же верно для четырех и более компонент.
