ψ〉 и |φ〉, то упомянутое комплексное число записывается так: 〈ψ| φ〉. При этом выполняется ряд простых алгебраических тождеств, которые мы можем записать в следующем (несколько, правда, неуклюжем) виде:

Кроме того, можно показать, что 〈ψ| ψ〉 = 0 при |ψ〉 = 0. Мне не хочется надоедать читателю прочими математическими подробностями (если же таковые подробности кого-то заинтересуют, то ознакомиться с ними можно, открыв любой стандартный текст по квантовой теории; см., например, [94]).

Существенными для наших дальнейших нужд свойствами скалярного произведения являются лишь следующие два (уже, впрочем, упоминавшиеся выше):

Отметим, что отношение ортогональности является симметричным (поскольку 〈ψ¯|¯φ〉 = 〈φ|ψ〉). Более того, произведение 〈ψ|ψ〉 всегда представляет собой неотрицательное вещественное число, из какового числа легко извлекается неотрицательный квадратный корень, который мы можем называть длиной (или величиной) вектора | ψ〉.

Поскольку при умножении любого вектора состояния на ненулевое комплексное число физическая интерпретация этого вектора никаких изменений не претерпевает, мы всегда можем нормировать состояние таким образом, чтобы длина соответствующего вектора стала равна единице, получив в результате так называемый единичный вектор, или нормированное состояние. Тут, впрочем, имеется некоторая неясность, так как мы можем умножить вектор состояния и на чистую фазу (число вида e^iθ, где θ — вещественное число; см. §5.10).

Как в терминах гильбертова пространства представить процедуру R? Рассмотрим простейший случай измерения (типа «да/нет»), при котором прибор делает запись ДА при достоверном обнаружении у измеряемого квантового объекта некоторого свойства и НЕТ, если обнаружить данное свойство не удается (или, что то же самое, прибор обнаруживает достоверное указание на то, что таким свойством измеряемый квантовый объект не обладает). Этот случай включает в себя и ту возможность, которая нас в настоящий момент как раз и интересует, — вариант НЕТ может оказаться нулевым измерением. Подобные измерения выполняют, например, детекторы фотонов из §5.8. Они регистрируют результат ДА, обнаруживая прибытие фотона, и НЕТ, если обнаружения фотона не произошло. В данном случае измерение НЕТ является не чем иным, как нулевым измерением — измерением оно при этом быть не перестает, вследствие чего состояние системы «скачком» переходит в состояние, ортогональное тому, какое наблюдалось бы, получи мы при измерении результат ДА. Аналогичным образом, к нулевым можно непосредственно отнести и измерения спина (для атома со спином 1/2) в опыте Штерна— Герлаха; можно говорить, что измерение дает результат ДА, если обнаруживается, что атом имеет спин | ↑〉 (что происходит, когда атом отклоняется в сторону, соответствующую направлению «вверх»), или НЕТ, если атом в эту сторону не отклоняется, что дает нам спиновое состояние, ортогональное состоянию |↑〉, т.е. |↓〉.

Более сложные измерения всегда можно представить в виде последовательности измерений типа «да/нет». Рассмотрим, например, атом со спином 1/2 n. Чтобы не упустить ни одного из n + 1 различных возможных результатов измерения доли спина, ориентированного в направлении «вверх», начнем с того, что зададим вопрос, не находится ли атом в спиновом состоянии, например, |↑↑…↑〉. Для ответа на вопрос попытаемся обнаружить атом в луче, соответствующем этому спиновому состоянию «единодушно вверх». Если измерение дает ответ ДА, то на этом наши мучения и заканчиваются. Если же мы получаем НЕТ, то измерение оказывается нулевым, и мы переходим к следующему вопросу: «Не находится ли атом в спиновом состоянии |↓↑…↑〉?» И так далее. Каждый раз ответ НЕТ следует считать нулевым измерением, каковое указывает лишь на то, что в данном случае не был получен ответ ДА. Запишем наши рассуждения более подробно. Предположим, что первоначально атом находится в спиновом состоянии

а мы выполняем измерение с целью выяснить, не ориентирован ли весь спин атома в направлении «вверх». Получив ответ ДА, мы удостоверяемся в том, что атом действительно находится в состоянии |↑↑↑…↑〉, или, если точнее, «перескакивает» в состояние | ↑↑↑…↑〉 при измерении. Если же ответ НЕТ, то измерение является нулевым, и приходится предположить, что первоначальное состояние «перескакивает» в ортогональное состояние