расчлененный тезис; топологическое множество — антитезис, ибо присоединение фигурности пока только абстрактно — как структурно безразличный акт полагания. Проективное множество—синтез, воплощенность в числовой сфере чистой и законченной, конкретной структуры (т. е. фигурности). Мы уже знаем, что диалектически возможны самые разнообразные конструкции одного и того же смыслового обстояния; и поэтому настаивать на какой–нибудь одной из предложенных конструкций нет никаких оснований. Тут важна только нарастающая смысловая сложность упорядочения: континуум, топос и проективное множество.

В данном месте нецелесообразно давать полную диалектику всех видов упорядочения, так как это является предметом целого специального отдела нашего исследования. Поэтому мы не касаемся пока таких построений, как аналитическое множество или измеримое множество, представляющих собою еще дальнейшие диалектические этапы упорядочения. Предыдущие замечания были только образцом исследования данного вопроса.

4. Стоит упомянуть еще и о том, что в математической литературе мы имеем попытки определить и самое понятие порядка. Это, конечно, редкость, потому что большая часть основных понятий в математике вообще не определяется никак. Кажется, никто еще не дал определения таких понятий, как «точка», «линия», «сумма», «множество» и т. п. К числу этих определяемых только вербально понятий принадлежит и изучаемая нами здесь категория порядка. У Френкеля[31] мы находим следующее определение этой категории: «Множество R обладает следующими характеристическими для него свойствами: 1. если т_у и т₂—два различных элемента множества А/, R_x и Я_2 — соответствующие им остатки из А/, то или Я₂ есть подмножество для /?_ь или R_x есть подмножество для R₂ (именно смотря по тому, появляется ли т_х раньше т₂ или т₂ раньше т_х) 2. если т_х и т_2 — два различных элемента А/, то в R входит по крайней мере один остаток R₀, содержащий один из обоих элементов т_х и т₂ (а именно элемент, появляющийся в ? на более позднем месте; если т_х стоит раньше т₂, то, например, соответствующий т_х остаток R₀ хотя и содержит т_ъ но он не содержит т_х) 3. объединенное множество каждого множества остатков от ? (т. е. каждого подмножества для R) есть в свою очередь остаток от ?— следовательно, элемент от R». Множество R с такими тремя свойствами и есть то множество, при наличии которого упорядочивается множество М.

[а)] Это определение упорядочивающего множества способно сначала поставить философствующего только в тупик. Однако тщательное расследование этого определения вскрывает как всю беспомощность математической мысли поставить философскую проблему, так и ее весьма поучительную слепоту, но все же в своей слепоте бессознательно правильно нащупывающей логический аппарат, который тут пускается в ход человеческим сознанием.

b) Возьмем первое свойство множества R. Здесь указывается, что каждому элементу из ? соответствует некий определенный остаток до всего М₉ который пока мыслится как неупорядоченный. Выставляется требование, чтобы эти неупорядоченные куски множества ? тоже находились между собою в отношениях целого и части. Что такое требование вполне естественно, в этом сомневаться не приходится. Но тут с первого же шага совершается обычная в математических рассуждениях petitio principii; а именно, требуется определить, что такое порядок множества или что такое упорядочивающее множество. Но при этом уже предполагается, что ? упорядочено (так как имеется в виду, что т₁ раньше т₂ или наоборот). Ведь только зная порядок элементов в М, и можно будет сказать, какой остаток и для какого [элемента ] окажется частью или подмножеством. Что т_х раньше т₂, это Френкель знает; и что значит этот порядок, его нисколько не смущает. Но для R он почему–то не знает, как понимать порядок, и вдается тут в сложное рассуждение.

Однако не будем на этом настаивать. Закроем глаза на то, что в определении порядка здесь уже фигурирует категория порядка и неизвестное определяется здесь через другое неизвестное. Что же дальше? Зачем понадобился этот переход к «остаткам» и какое это имеет отношение к идее порядка? Тут, однако, необходимо указать, что математик пошел на ощупь вполне правильно. Хотя в смысле принципиальной мыслимости и не существует никакого неупорядоченного множества, но мы можем условно занять такую позицию, что есть некое множество, но что в нем все спутано и неразличимо и является как бы бесформенной глиной или песком. Как при такой позиции прийти к идее упорядоченности? Очевидно, необходимо прежде всего отбирать из этой глины те или другие порции, для того чтобы потом их как–нибудь обделать, объединить и придать им ту или иную форму. Первое свойство множества о котором говорилось выше, и есть, очевидно, не что иное, как распределение алогической массы множества ? на отдельные взаиморазличимые куски, о величине которых можно судить и которые являются один в отношении другого целым или частью. Но если это так, то философский смысл первого свойства заключается в том, что тут элементы множества А/ перестают мыслиться в своей отвлеченности, но что они переходят в свое инобытие и в нем воплощаются. Когда мы берем элемент т_х и смотрим на то, что еще остается в А/, то хотя этот остаток по условию еще и мыслится неупорядоченным, но уже гораздо в меньшей степени, мы как бы уже видим здесь, где он начинается и где кончается. Изрезавши все множество R на такие куски (путем противопоставления данного куска соответствующему элементу из А/), мы, очевидно, получаем не что иное, как то же самое множество А/, но уже как отраженное на R, и само–то R оказывается не чем иным, как множеством всевозможными способами полученных следов всех элементов А/, множеством всевозможного воплощения всех отвлеченных элементов этого последнего на его алогическом материале. Действительно, так оно и должно быть: порядок предполагает, что есть отвлеченная идея и есть реальный, но алогический материал, который этой идее подчиняется. Так вот, кромсание этого материала на куски, которые потом превратятся в упорядоченные элементы, есть первый необходимый этап упорядочивания, и смысл этого первого свойства множества /?, очевидно, сводится к переходу отвлеченного элемента в свое инобытие, причем переход тут совершается пока не целиком, а только по факту элемента: элемент получил для себя инобытийную субстанцию, но она еще остается без воплощения подлинного смысла элемента, остаётся грубым и необработанным куском.

с) Перейдем ко второму свойству множества R. Здесь утверждается, что если имеется в А/ два каких–нибудь элемента, из которых один позже другого (опять предполагается идея порядка!), то в ? должен быть хотя бы один остаток, содержащий в себе один из этих элементов. При этом если идея порядка здесь подлинно функционирует, то этот остаток должен содержать в себе именно позднейший элемент из этих двух, так как остаток, соответствующий элементу т_и может содержать в себе элементы только высшие, чем т_и а таковым является только т₂ (раз соблюдается последовательность перехода от т_х к т₂). Другими словами, это второе свойство множества R связывает его с множеством ? в том смысле, что до сих пор отдельные «части» R мыслились только в своем взаимном различии, но не мыслились ни в каком взаимном порядке, теперь же они мыслятся как продолжение тех или иных элементов из М. Второе свойство множества R предполагает, что порядок в R может быть только в том случае, если, взявши что–нибудь из Af, мы этого уже не встретим в R, а встретим только то, что выходит за его пределы. Здесь, очевидно, устанавливается ориентация отдельных моментов R в отношении элементов А/. Каждый момент R отныне, оказывается, начинает нести на себе энергию целого Af, т. е. отвлеченно взятый элемент ? не только перешел в свое инобытие, в R, субстанциально, но он перешел по смыслу. Остается, стало быть, только подтвердить, что все эти «части» ?, отныне получившие смысл элементов, сами суть нечто целое, т. е. образуют некое самостоятельное множество. Тогда и окажется, что упорядоченное множество действительно конструировано из вполне алогического материала.

Это фиксируется в третьем свойстве множества R.

d) Если теперь оглянуться на весь пройденный путь в определении множества /?, то можно, очевидно, так понимать это определение. В § 48. 3 мы уже столкнулись с понятием т. н. Potenzmenge, т. е. множества всех подмножеств данного множества, причем его мы понимали как объединение всех частей (а не элементов) данного множества. Употребляя философскую терминологию, мы говорили, что Potenzmenge в отношении самого множества есть «все» в отношении «целого», причем это такое все, которое дано всевозможными способами комбинирования своих моментов, поскольку множество всех частей множества