ничем не замутненная, именно его собственная смысловая значимость. Единица есть единица, и двойка есть двойка — так это и остается в арифметическом числе, в то время как, например, в геометрии единица сама по себе совершенно ничего не дает в смысле геометрии, а надо, чтобы единица была еще раз положена, и положена на другом, не на числовом, а на инобытийно–числовом, пространственном фоне, т. е. чтобы эта единица превратилась в точку. Ничего подобного нет в арифметике. Там ни единица, ни другое число не переходят ни во что инобытийно–числовое, а остаются в своей чисто смысловой значимости. Когда мы говорим о порядке, то, очевидно, здесь тоже не должно быть иначе.

В арифметическом числе порядок единиц должен быть инобытийно–ну левым, т. е. он должен быть продиктован только самой же числовой значимостью чисел. Порядок и взаимное расположение чисел должны тут вытекать из значения самих чисел, а не от того «фона», на котором они даются, не от тех различных «расстояний» и «направлений», которые могут быть продиктованы этим «фоном». Тут только одно и есть «расстояние» между единицами— это просто перечисление единиц по их количественному значению: 1, 2, 3, 4… и т. д.; и тут одно только и есть «направление» — это то, которое определено значением самих чисел (в данном случае возрастание). Лучше же сказать, арифметические числа никаких совершенно не имеют междуединичных расстояний и этим единицам ровно никакое направление не присуще. Это нулевые расстояния и нулевые направления. Это чисто смысловая, т. е. чисто количественная, взаимораспределенность и чисто количественная направленность.

Отсюда и аксиома.

Аксиома подвижного покоя в арифметике: арифметическое число есть совокупность определенным образом взаимно расположенных элементов.

Так как эта аксиома не содержит никакого указания моментов числового инобытия, то, следовательно, понимать такую формулировку можно только неинобы–тийно, т. е. только в смысле чисто количественной значимости. Можно, конечно, и отметить эту нулевую ино–бытийность. Тогда пришлось бы добавить несколько слов вроде «при их чисто смысловом расположении», или «при их чисто смысловой значимости», или «когда это расположение определено только смыслом самих элементов» и т. п.

3. Из распространенных аксиом арифметики сюда подойдут, очевидно, «аксиомы порядка», из которых, однако, надо брать не все ввиду их неравномерной значимости, а только некоторые. Очевидно, сюда целиком подойдет аксиома: «Если а и b суть какие–либо два различных числа, то всегда одно из них больше другого, т. е. всегда а>Ъ и b<а». Отсюда вытекают (но отнюдь не равносильны первой аксиоме) и другие: «Если а>b и А > с, то а>с»; «Если а>b, то всегда также а+с>b+с»; и наконец: «Если а>b и с> О, то всегда также ас>bс». Преследуя аксиоматическую общность изложения, можно и не касаться грех последних положений и ограничиться только первым об а>b и b<а.

1. Без труда формулируется та же аксиома для геометрии, поскольку здесь мы находимся в области инобытия числа, и категория подвижного покоя будет дана в своем инобытии. Это значит, что движение здесь мыслится не между отдельными единицами, из которых состоит чистое число, но между моментами инобытийными, т. е. пространственными, и покой будет мыслиться не в недрах самого числа, а среди инобытийно–числовых, пространственных моментов. Как в предыдущей категории различие дало различие не просто актов полагания и не единиц, но точек, а тождество оказалось не тождеством вообще, но пространственным тождеством точек, т. е. линией, плоскостью и телом, так и здесь мы должны оперировать с точками, этим бытием чисто числовых единиц, и должны от одной точки переходить к другой, наблюдая, что получается в результате этого движения и этого покоя.

Пусть мы двигаемся по линии от точки А к точке В. Чтобы показать, что мы именно движемся от А к В и что, придя в 5, мы именно остановились, для этого, очевидно, нужно, чтобы мы имели не просто голые и изолированные точки А и В_у взятые сами по себе, но в каком–то их специфическом взаимоотношении. Нужно, чтобы А уже сама по себе указывала бы на В, ? В сама по себе указывала бы на А. Другими словами, нужно, чтобы обеим точкам была свойственна идея порядка, чтобы от А мы шли бы действительно кВи чтобы в таком случае и от В шли бы к А. Легче, однако, это демонстрировать на трех точках, потому что при существовании только двух точек еще есть возможность двигаться в обратную сторону. Когда же мы имеем на одной прямой три точки А, В, С и движемся от А в направлении к С, то тут уже во всяком случае нам придется пройти через точку В. Почему? Потому что точки А, В, С расположены в определенном порядке, связаны определенной последовательностью; и если вообще двигаться в этом направлении, то нельзя не пройти точки В. Таков порядок этой системы. В момент прохождения через В мы как бы на мгновение останавливаемся, а это и значит, что тут действует категория подвижного покоя и что она определяет собою единство направления и порядка.

Можно поэтому в следующем виде выставить нашу аксиому.

Аксиома подвижного покоя в геометрии: геометрическая величина есть совокупность определенным образом взаиморасположенных элементов в их инобытии. Или подробнее: геометрическая величина есть совокупность определенным образом взаиморасположенных элементов, находящихся в состоянии движения по актам своего внешнего полагания и в состоянии покоя, достигаемого этим внешним движением.

2. Из обычных формулировок аксиом сюда относятся т. н. аксиомы порядка. Их я взял бы почти в том виде, как они даны у Гильберта, хотя и в ином порядке — ради большей стройности и последовательности мысли. Именно, на первом месте я бы поставил то, что у Гильберта занимает третье место (II 3):

1. «Из трех точек прямой всегда одна, и только одна, лежит между двумя другими».

За этой аксиомой логически следует та, которая у Гильберта на первом месте (II 1), потому что сначала надо поместить одну точку между двумя другими, а потом уже говорить об отношении ее к этим другим, равно как только после этого следует говорить о продолжении движения за пределы этих двух точек (II 2). Таковы эти аксиомы:

2. «Если А, В и С—точки одной прямой и В лежит между А и С, то В лежит также между С и А».

3. «Если А и С—точки одной прямой, то существует по меньшей мере одна точка В, лежащая между А и С, и по меньшей мере одна точка D такая, что С лежит между А и D».

Это — аксиомы линейные. Необходимо также применение нашей категории и к плоскости. Здесь существует аксиома Паша[27], дающая представление о продолжении и порядке плоскости. Ее можно формулировать так:

4. «Если в плоскости даны три отрезка АВ, ВС и С А, то прямая на этой плоскости, имеющая общую точку с одним каким–нибудь из них, имеет также общую точку с одним из обоих других».

Тут не сразу понятно, что имеется в виду. Имеется же в виду то, что отрезок, соединяющий две точки, находящиеся по одну и ту же сторону от данной прямой, не имеет ни одной общей точки с этой последней, в то время как отрезок, соединяющий две не находящиеся по одну и ту же сторону от данной прямой [точки ], имеет с нею одну общую точку.

Разумеется, должна быть «аксиома порядка» и в отношении пространства (каковой почему–то совсем нет у Гильберта). Ее легко получить по аналогии с аксиомой Паша на плоскости примерно так:

5. «Две плоскости, имеющие одну общую точку, имеют одну общую прямую».

Эта аксиома показывает, как пространство делится плоскостью и как за одной частью пространства следует другая, ибо представление о прямой, общей двум плоскостям, возможно только тогда, когда есть представление о двугранном угле, и притом по крайней мере о двух (если не о четырех) сложных двугранных углах, т. е. представление о разделении пространства и о переходе из одной его части в другую.

Стоит заметить, что предложенная чисто математическая формулировка аксиомы подвижного покоя в геометрии отнюдь не есть единственно возможная. Энриквес наряду с предложениями Гильберта указывает и другие, которые вполне тождественны им. Это, пожалуй, стоит привести.

Одна формула:

«Каждая точка А прямой разлагает прямую на два класса точек (части), которые можно обозначить названиями «правая часть» и «левая часть», таким образом, что

a) каждая отличная от А точка принадлежит одной из обеих частей;

b) если А находится налево (или направо) от какой–нибудь точки В, то каждая точка налево (или направо) от А находится налево (или направо) от В

c) если А находится налево от В, то В находится направо от А».