при помощи отдельных «единиц». Мы можем взять самую эту операцию «счета». И мы можем взять результат, то, что получается после такого инфинитезимального счета наших инфинитезималь–ных единиц. Из общего инфинитезимального числа, взятого по типу предела, получаются три указанные выше категории—дифференциала, производной и интеграла.

11. Сделаем сводку всего нашего анализа инфинитезимальных категорий на фоне общего учения о числе, и мы убедимся, как сложно здесь сплетение логических точек зрения, руководимое практикой, и как глубоки те простейшие и элементарнейшие понятия, которые дает математический анализ на первых же страницах своих учебников. Вот эта сводка.

А. а) То, что становится чем–то.

б) То, чем становится нечто.

в) Становление чего–то чем–то.

Б. I. Арифметическое число.

II. Трансфинитное число.

III. Инфинитезимальное число.

1. Бесконечно–малое.

2. Непрерывность.

3. Предел.

а) Дифференциал.

б) Производная.

в) Интеграл.

Таким образом, каждая из этих изученных нами категорий— дифференциала, производной и интеграла—состоит по крайней мере из пяти разных пластов.

1) Прежде всего, в основе всего и в качестве наиболее абстрактной наметки залегает общекатегориальный слой первого логического расчленения вообще: мы тут имеем самое первое полагание бытия, которое тут же стремится к другому полаганию, т. е. становящееся, становление и ставшее в их целокупной данности и вза–имоотраженности.

2) Далее, эта общекатегориальная структура выступает в числовом виде, т. е. с отвлечением от чистой качественности, и только в виде самих актов полагания с невниманием к тому, что именно полагается. В этом общечисловом слое мы различаем три разных типа.

3) Общечисловая структура выступает далее в виде инфините–зимальной: все числовые категории погружаются в стихию чистого и безраздельного становления.

4) Из этого последнего слоя образуется еще новый: под действием принципа предела. Тут и залегают изучаемые нами категории дифференциала, производной и интеграла.

5) Эти последние категории выступают раздельно и самостоятельно.

Это логическое раскрытие инфинитезимальных категорий есть не что иное, как перевод на логический язык того, что говорится в математике. Возьмем, напр., интеграл. Интеграл есть предел суммы. Это значит, что, во–первых, это есть некоторое предельное понятие вообще. Как раз это имеется нами в виду в четвертом пункте, где интеграл рассмотрен нами под принципом предела. И так как не всякий предел есть интегральный предел, то для отражения того, что это именно предел суммы, мы, во–вторых, ввели различение с дифференциалом и производной: интеграл есть предел как ставшее, в то время как дифференциал есть то, что только еще становится пределом, а производная — метод этого становления. Это наш пятый пункт. Таким образом, наши четвертый и пятый пункты можно отбросить только в том нелепом случае, если интеграл, во–первых, не считать пределом и, во–вторых, не считать пределом суммы.

Далее, существует не только предел суммы как результат некоего специфического становления, но и числовое становление вообще. Раз переменная величина может бесконечными способами стремиться к своему пределу, то, значит, существует и становление вообще. Интеграл как предел суммы есть только частный случай общего учения о бесконечно–малом, непрерывно стремящемся к пределу. Отсюда наш третий — общеинфинитезимальный слой интеграла. Как можно было бы отвергать его? Это значило бы, что интеграл как предел суммы есть единственная инфинитезимальная категория и что нет никакой общеинфинитезимальной области, куда входили бы и другие пределы, другие способы стремления к пределу.

Далее, инфинитезимальная область, как построенная согласно принципу числового становления, уже тем самым предполагает, что существуют и другие способы числового построения. И опять–таки только при том бессмысленном предположении, что, кроме инфини–тезимального построения числовой области, не существует никакого другого построения, можно было бы отвергать наш второй слой в изучаемых категориях. Раз есть инфинитезимальная структура, значит, есть и общечисловая структура. И она очень ощутительна, ибо только она отличает число от понятия. Число «равнодушно» к своему качественному заполнению. Оно предполагает только самые акты реальности без внимания к тому, что такое сама эта реальность. Система таких актов реальности и образует число, общечисловую структуру бытия и мышления. И это наш второй пункт. Отрицание его есть утверждение того, что, кроме инфинитезимальной числовой структуры, нет никакой другой числовой структуры и что она не есть только вид этой общечисловой структуры.

Наконец, невозможно отрицать и того, что сама общечисловая структура интеграла тоже есть только вид некоей еще более общей смысловой структуры. Отрицать это — значит утверждать, что всякое бытие только и есть числовое бытие и что всякое мышление только и есть числовое мышление. Чтобы избежать этой нелепости, приходится в глубине общечисловой структуры интеграла видеть еще общелогическую, общекатегориальную структуру. И она, оказывается, есть не что иное, как первичное логическое определение вообще, когда мы находим самое общее «нечто» в его «переходе» в «иное». Знать, что именно эта общелогическая структура лежит в основе интеграла, — это очень важно. Это возводит категорию интеграла к первичным логическим установкам вообще и делает его глубочайше укорененным и в мышлении, и в бытии. Это наш первый пункт.

Такие же—соответственно — пять слоев нетрудно наметить и в понятии производной, и в понятии дифференциала. В пятом слое они резко отличаются друг от друга. В четвертом — они уже неразличимы, но зато все вместе резко отличны от инфинитезимальной области в ее общности, будучи ее специфическим выражением. В третьем—они слиты с инфинитезимальной областью вообще, но зато все вместе резко отличаются от арифметической и трансфинитной области. Во втором—они сливаются с этими областями в одно неразличимое целое, но зато оказываются все вместе резко отличными от сферы общекатегориальной. И наконец, в первом своем слое они совпадают с общекатегориальной областью, с некоторыми первичными логическими категориями, дальше которых идти уже некуда. Дальше вообще логика (не говоря уже о математике) кончается и начинается само бытие, отражением которого и являются эти первичные логические установки.

12. Весь этот логический анализ трех категорий—дифференциала, производной и интеграла—есть, повторяем, только попытка, и попытка, далекая от всяких абсолютных претензий. Можно и должно возражать против нее по ее содержанию. Однако в логике недопустимо одно возражение, которое тем не менее обывателю приходит прежде всего на ум: «Это очень сложно! Это схоластика!» Дело в том, что простота и ясность жизненная, к сожалению, очень мало соответствуют простоте и ясности научной и логической. Казалось бы, какая это «простая и ясная» вещь — кривизна линии, кто же ее не понимает? Однако это обывательское представление о кривизне для математики и логики—только смутное понятие. И кому кажется, что тут и объяснять нечего, пусть он развернет учебник дифференциального исчисления и попробует разобраться в главе о кривизне. Без хорошей математической подготовки за курс средней школы он, можно сказать наперед, ровно ничего не поймет в этой главе. А кто ж не знает того, что такое кривизна! Все видели, как висит веревка, привязанная за оба конца. И тут тоже найдется немало таких противников схоластики, которые забракуют всякое расчленение такого «простого и ясного» факта. Но такое отношение к «простым и ясным» фактам есть реакционное мракобесие против науки, ибо ясно, что никакая житейская простота и ясность фактов не могут удержать математику от нового—научного—их разъяснения. И то, что эта прикрепленная в обоих концах веревка располагается по цепной линии, связанной с гиперболическим косинусом, это обстоятельство есть то, за что нужно только благодарить математиков и механиков.