Таким образом, обратная связь позволяет уменьшить зависимость системы от характеристики двигателя и стабилизировать ее для всех частот, для которых

           (4.53)

То есть вся граница между внутренними и внешними точками должна лежать внутри круга с радиусом С и центром в точке — С. Это не будет выполняться даже в первом из рассмотренных нами случаев. Эффект сильной отрицательной обратной связи, если она устойчива, состоит в увеличении устойчивости системы при низких частотах, однако большей частью за счет ее устойчивости при тех или иных высоких частотах. Тем не менее [c.177] во многих случаях оказывается выгодной даже такая степень стабилизации.

Рассмотрение колебаний, вызванных чрезмерной обратной связью, поднимает весьма важный вопрос о частоте начинающегося колебания. Последняя определяется значением y в iy, соответствующим той точке границы между внутренней и внешней областями кривой (4.17), которая будет самой левой на отрицательной оси u. Величина y, очевидно, имеет размерность частоты.

Мы пришли к концу нашего элементарного исследования линейных колебаний с точки зрения обратной связи. Линейная колебательная система обладает весьма специальными свойствами, характеризующими ее колебания. Одно из них заключается в том, что такая система всегда может и большей частью — при отсутствии независимых одновременных колебаний — будет совершать колебания вида

           (4.54)

Существование периодического несинусоидального колебания всегда указывает по меньшей мере на то, что система нелинейна относительно наблюдаемой переменной. В некоторых, хотя и весьма немногих, случаях систему можно сделать линейной, выбрав другую независимую переменную.

Другое весьма значительное различие между линейными и нелинейными колебаниями заключается в том, что в первом случае амплитуда совершенно не зависит от частоты, а во втором обычно существует лишь одна амплитуда или самое большее дискретное множество амплитуд, с которыми система будет колебаться на данной частоте, как и дискретное множество частот, на которых возможны колебания. Это хорошо иллюстрируется изучением процессов, которые имеют место в органной трубе. Существует две теории органной трубы: приближенная линейная и более точная нелинейная. В первой органная труба трактуется как консервативная система. Вопрос о том, как труба приходит в колебание, не ставится, и уровень колебания остается совершенно неопределенным. Во второй теории считают, что колебания органной трубы рассеивают энергию, которая создается воздушным потоком, проходящим через [c.178] отверстие трубы. Теоретически возможен стационарный воздушный поток через отверстие трубы, не обменивающийся энергией ни с одной из форм колебания трубы, но при определенных скоростях воздушного потока стационарное состояние является неустойчивым. Малейшее случайное отклонение приводит к переходу энергии от воздушного потока к одному или нескольким собственным линейным колебаниям трубы, причем до известного момента это отклонение усиливает связь собственных колебаний трубы с источником энергии. Приток энергии и ее утечка вследствие теплового рассеяния и других причин происходят по разным законам, но при устойчивом режиме колебаний обе величины должны совпадать. Этим определяется как амплитуда, так и частота нелинейного колебания.

Рассмотренный случай служит примером так называемых релаксационных колебаний, когда система уравнений, инвариантных относительно сдвига во времени, дает решение, периодическое во времени или соответствующее некоторому обобщенному понятию периодичности и обладающее определенной амплитудой и частотой, но неопределенной фазой. В данном случае частота колебания системы близка к частоте некоторой слабо связанной, приблизительно линейной части системы. Б. ван дер Поль, один из главных авторитетов по релаксационным колебаниям, нашел, что это не всегда так и что возможны релаксационные колебания, у которых преобладающая частота далека от частоты линейных колебаний любой части системы. Можно привести следующий пример. Струя газа течет в камеру, сообщающуюся с наружным воздухом. В камере горит сигнальный огонь. Когда концентрация газа в воздухе достигает некоторой критической величины, в системе может произойти взрыв вследствие возгорания смеси от сигнального огня. Время, которое пройдет до того, как это случится, зависит лишь от скорости течения светильного газа, от скорости всасывания воздуха и удаления продуктов сгорания и от процентного состава взрывчатой смеси светильного газа и воздуха.

Вообще говоря, нелинейные системы уравнений трудно решать. Существует, однако, случай, легко поддающийся исследованию, когда система лишь немного отличается от линейной, и члены, составляющие [c.179] различие, изменяются так медленно, что их можно считать, по существу, постоянными за период колебания. В этом случае нелинейная система может исследоваться так, как если бы это была линейная система с медленно изменяющимися параметрами. Системы, допускающие подобный подход, носят название систем с вековыми возмущениями; теория систем с вековыми возмущениями играет важнейшую роль в гравитационной астрономии.

Кажется вероятным, что некоторые виды физиологических треморов можно рассматривать приближенно как линейные системы с вековыми возмущениями. На такой системе легко понять, почему амплитуда стационарного колебания может оказаться столь же определенной, как и частота. Пусть одним из элементов такой системы будет усилитель, коэффициент усиления которого уменьшается по мере того, как увеличивается некоторое долговременное среднее входного сигнала. Тогда с ростом колебаний системы коэффициент усиления может упасть, пока не будет достигнуто состояние равновесия.

Нелинейные системы релаксационных колебаний исследовались в ряде случаев методами, которые разработали Хилл и Пуанкаре[152]. Классическими примерами являются случаи, когда системы описываются уравнениями дифференциального характера, особенно если эти дифференциальные уравнения низшего порядка. Насколько мне известно, не существует какого-либо сравнимого исследования соответствующих интегральных уравнений, когда будущее системы зависит от всего ее прошлого. Однако нетрудно представить себе, какой вид должна иметь такая теория, особенно если мы ищем лишь периодические решения. В этом случае небольшое изменение коэффициентов уравнения должно вызывать небольшое и, следовательно, приблизительно линейное изменение уравнений движения.

Например, пусть Op[f (t)] — функция от f, полученная нелинейной операцией из f(t) и подвергаемая сдвигу. Тогда вариация ?Op[f(t)] функции Op[f(t)], соответствующая вариационному изменению ?f(t) функции f(t) и известному изменению динамики системы, [c.180] является линейной, но неоднородной относительно ?f (t), хотя она нелинейна относительно f (t). Если теперь мы знаем некоторое решение f (t) уравнения

Op [f (t)] = 0          (4.55)

и изменим динамику системы, то получим линейное неоднородное уравнение для ?f(t). Если

           (4.56)

и сумма f(t)+?f (t) также периодическая, имея вид

 ,          (4.57)

то

 .          (4.58)

Все коэффициенты в линейных уравнениях для ?f(n) разлагаются в ряд по е^i?nt, поскольку f (t) сама разложима в такой ряд. В результате получим бесконечную систему