t, где t изменяется от —? до ?; иначе говоря, f(t) — величина, принимающая определенное числовое значение для каждого момента t. В любой момент t нам доступны величины f(s), где s меньше или равно t, но отнюдь не больше t. [c.165] Мы располагаем устройствами, электрическими или механическими, которые задерживают входной сигнал на фиксированное время и выдают нам при входном сигнале f (t) выходной сигнал f(t—?), где ? — фиксированная задержка.
Мы можем включить одновременно несколько таких устройств, получив на выходах сигналы f(t—?1), f (t—?2),…, f(t— ?n). Каждый из этих выходных сигналов мы можем умножить на фиксированные величины, положительные или отрицательные. Так, при помощи потенциометра можно умножить напряжение на фиксированное положительное число, меньшее единицы, и не очень трудно изобрести автоматические компенсационные устройства и усилители, чтобы умножать напряжение на отрицательные величины или на величины, бо?льшие единицы. Нетрудно также составить простую электрическую схему для непрерывного сложения напряжений, при помощи которой мы получим выход
. (4.01)
Увеличивая число задержек ?k и выбирая подходящим образом коэффициенты ak, мы можем сколь угодно приблизиться к выходному сигналу вида
. (4.02)
Обратим внимание на то существенное обстоятельство, что в этом выражении интегрирование производится от 0 до ?, а не от —? до ?. В противном случае мы могли бы с помощью различных практических устройств преобразовать наш сигнал в f(t +?), где ? положительно. Но это предполагает знание будущего функции f(t), a f (t) может быть величиной, которая не определяется однозначно своим прошлым; пример — координаты трамвая, который может повернуть на стрелке в ту или другую сторону. Если физический процесс по видимости дает нам оператор, преобразующий f(t) в
(4.03)
[c.166]
где а(?) не исчезает при отрицательных ?, это значит, что мы не имеем больше истинного оператора для f(t), определяемого однозначно прошлым этой функции. Такое может встретиться в реальных физических ситуациях. Например, динамическая система без входа может прийти в постоянные колебания или даже в колебания, нарастающие до бесконечности, с неопределенной амплитудой. В этом случае будущее системы не определяется ее прошлым, и мы, наверное, можем найти формализм, в котором бы использовался оператор, зависящий от будущего.
Операция, посредством которой получено выражение (4.02) из f (t), имеет еще два существенных свойства: 1) она не зависит от сдвига начального момента и 2) она линейна. Первое свойство выражается утверждением, что если
, (4.04)
то
. (4.05)
Второе выражается утверждением, что если
, (4.06)
то
. (4.07)
Можно показать, что в некотором подходящем смысле всякий оператор для прошлого функции f(t), линейный и инвариантный относительно сдвига начального момента, имеет вид (4.02) или является пределом последовательности операторов этого вида. Например, f’(t) есть результат применения оператора с такими свойствами к f(t), и потому [c.167]
, (4.08)
где
(4.09)
Как мы уже видели, функции еzt составляют особенно интересное семейство с точки зрения оператора (4.02), поскольку
, (4.10)
и оператор задержки становится просто множителем, зависящим от z. Оператор (4.02) переходит тогда в
. (4.11)
и также оказывается оператором умножения, зависящим только от z. Выражение
(4.12)
называется представлением оператора (4.02) в виде функции частоты. Если z — комплексная величина х+iy, где х и y — действительные числа, то (4.12) переходит в
(4.13)
Отсюда следует ввиду известного неравенства Шварца для интегралов, что если y>0 и
, (4.14)
то [c.168]
. (4.15)
Это значит, что А(х+iу) — ограниченная голоморфная функция комплексной переменной в каждой полуплоскости x??>0, а функция A(iy) представляет в некотором весьма определенном смысле граничные значения этой функции.
Положим
, (4.16)
где u и v — действительные числа. Тогда x+iy определится как функция (не обязательно однозначная) от u+iv. Это функция аналитическая, хотя и мероморфная, за исключением точек u+iv, соответствующих точкам z=x+-iy, где ?А(z)/?z=0. Граница х=0 перейдет в кривую с параметрическим уравнением
(y действительное). (4.17)
Эта новая кривая может пересекать саму себя любое число раз, но в общем случае она будет делить плоскость на две области. Рассмотрим кривую (4.17), вычерченную в направлении возрастания y от —? до +?. Если идти от нее вправо по непрерывной линии, не пересекающей снова кривую (4.17), можно попасть в те или иные точки плоскости. Точки, не входящие в это множество и не лежащие на кривой (4.17), мы будем называть внешними точками. Часть кривой (4.17), содержащую предельные точки внешних точек, назовем эффективной
