(4.41)

Рис. 3

Наконец, пусть наш оператор, соответствующий A, представляет собой простую задержку на Т единиц [c.173] времени. Тогда

           (4.42)

и

           (4.43)

Кривая (4.17) в этом случае представляет собой единичную окружность с центром в начале координат, проходимую в направлении часовой стрелки со скоростью, равной единице. Внутренней областью кривой будет внутренняя область в обычном смысле, и предельная обратная связь равна 1.

Отсюда можно вывести одно весьма интересное заключение. Оператор 1/ (1+kz) можно компенсировать произвольно сильной обратной связью, что заставляет A/(1+?A) приближаться сколь угодно близко к единице в сколь угодно широком диапазоне частот. Таким образом, три последовательных оператора этого типа можно компенсировать тремя — или даже двумя — обратными связями. Но оператор 1/ (1+kz)³, получаемый при последовательном соединении трех операторов 1/(1+kz), нельзя сколь угодно точно компенсировать одной обратной связью. Оператор 1/(1+kz)³ можно также записать в виде

           (4.44)

и рассматривать как предел аддитивного соединения трех операторов со знаменателями первой степени. Итак, оказывается, что сумму различных операторов, каждый из которых допускает сколь угодно точную компенсацию одной обратной связью, нельзя компенсировать таким же образом.

В ценной книге Макколла приведен пример сложной системы, которая может быть стабилизирована двумя обратными связями, но не одной. Речь идет о системе управления кораблем при помощи гирокомпаса. Наличие угла между курсом, который задал рулевой, и тем, который показывает компас, приводит к перекладке руля, создающей вследствие поступательного движения корабля вращающий момент, который изменяет курс корабля таким образом, чтобы уменьшить расхождение между заданным и действительным курсом. Если это [c.174] осуществляется путем непосредственного открывания клапанов одной рулевой машины и закрывания клапанов другой с таким расчетом, что скорость перекладывания руля пропорциональна отклонению корабля от курса, то угловое положение руля будет примерно пропорционально моменту вращения корабля и, следовательно, его угловому ускорению. Поэтому поворот корабля пропорционален с отрицательным коэффициентом третьей производной отклонения от курса, а операция, которую нужно стабилизировать обратной связью от гирокомпаса, имеет вид kz³, где k положительно. Таким образом, мы получаем для кривой (4.17) уравнение

           (4.45)

и поскольку внутренней областью служит левая полуплоскость, никакой следящий механизм не сможет стабилизировать эту систему.

В этом описании мы несколько упростили задачу управления. В действительности здесь присутствует какое-то трение, и сила, поворачивающая корабль, не определяет ускорения. Если ? — угловое положение корабля, а ? — угловое положение руля по отношению к кораблю, то

           (4.46)

и

           (4.47)

Эту кривую можно записать как

           (4.48)

и систему по-прежнему нельзя стабилизировать никакой обратной связью. Когда y изменяется от —? до ?, v изменяется от ? до —?, так что внутренняя область кривой расположена слева.

Если, с другой стороны, положение руля пропорционально отклонению от курса, то оператор, который мы хотим стабилизировать обратной связью, имеет вид k₁z² +k₂z, и кривая (4.17) будет задаваться уравнением

           (4.49)

Эту кривую можно записать как

           (4.50)

[c.175]

но на этот раз при изменении y от —? до ? u также изменяется от —? до ?, а кривая наша обходится в направлении от у=—? до у=?. Внешняя область кривой находится слева от нее, и возможно неограниченное усиление.

Для достижения этого результата можно применить вторую ступень обратной связи. Если положение клапанов рулевой машины регулируется не расхождением между действительным и желательным курсом, а разностью между этой величиной и угловым положением руля, то при достаточно большой обратной связи (т. е. когда клапаны открыты достаточно широко) будет поддерживаться с любой точностью пропорциональность между угловым положением руля и отклонением корабля от истинного курса. Система управления с двойной обратной связью обычно и применяется для автоматического управления кораблем при помощи гирокомпаса.

В человеческом теле движение руки или пальца связано с большим числом суставов. Выходное усилие равно векторной комбинации выходных усилий всех этих суставов. Мы видели, что, вообще говоря, сложную аддитивную систему такого рода нельзя стабилизировать одной обратной связью. Поэтому обратная связь произвольного движения, при помощи которой мы регулируем выполнение задачи, наблюдая, насколько та еще не выполнена, должна быть поддержана другими обратными связями. Последние называются обратными связями позы и служат общему поддержанию тонуса мышечной системы. Именно обратная связь произвольного движения и подвержена нарушениям и расстройствам при повреждении мозжечка, ибо следующий за этим тремор появляется только тогда, когда больной пытается выполнить произвольное действие. Этот интенционный тремор, при котором больной не может взять стакан воды, не опрокинув его, весьма отличен по природе от тремора при паркинсоновской болезни, или дрожательном параличе. Тремор при паркинсоновской болезни проявляется наиболее типично, когда больной неподвижен, и часто, по-видимому, значительно ослабляется, когда больной пытается выполнить сознательно контролируемые действия. Встречаются хирурги с паркинсоновской болезнью, которые неплохо [c.176] справляются с операциями. Паркинсоновская болезнь, как известно, имеет причину не в болезненном состоянии мозжечка, а связана с патологическим очагом где-то в стволе мозга. Это лишь одна из болезней обратных связей позы, и многие из таких болезней происходят от повреждений частей нервной системы, расположенных весьма разнообразно. Одна из важных задач физиологической кибернетики — распутать и локализировать различные части этого комплекса обратных связей произвольных действий и поз. Примерами составных рефлексов такого рода служат чесальный рефлекс и рефлекс ходьбы.

Когда обратная связь возможна и устойчива, то, как мы уже говорили, она даст ту выгоду, что делает поведение системы менее зависимым от нагрузки. Допустим, что нагрузка изменяет характеристику А на dА. Относительное изменение равно dA/A. Если оператор после обратной связи имеет вид

           (4.51)

то мы получим[151]

           (4.52)