Если за преобразованием А следует преобразование В, то в результате получается преобразование, называемое произведением, или результирующим преобразованием ВА. Заметим, что произведение, вообще говоря, зависит от порядка преобразований A и В. Например, если А — преобразование, переводящее координату х в координату y, а у — в х, оставляя z без изменений, и если В переводит х в z, а z — в х, оставляя y без изменений, то ВА будет переводить х в у, у — в z и z — в х, а АВ будет переводить х в z, у — в х и z — в у. Если АВ и ВА совпадают, то говорят, что А и В перестановочны.

Иногда, но не всегда, преобразование А не только переводит каждый элемент системы в элемент, но обладает еще тем свойством, что каждый элемент оказывается результатом преобразования одного из элементов. В этом случае существует такое единственное преобразование А^—1, что каждое из произведений АА ^—1 и А^—1A представляет собой особое, вырожденное преобразование, которое называется тождественным преобразованием I и преобразует каждый элемент в самого себя. В этом случае мы называем преобразование А^—1 обратным к преобразованию А. Очевидно, что А обратно к А^—1, что I обратно к самому себе и что обратное преобразование к АВ есть B^{— 1}A^—1.

Существуют множества преобразований, в которых: 1) каждое преобразование, принадлежащее к данному множеству, имеет обратное преобразование, также принадлежащее к этому множеству, и 2) произведение любых двух преобразований, принадлежащих к данному множеству, само принадлежит к этому множеству. Такие множества носят название групп преобразований. [c.107] Множество всех сдвигов или по прямой, или в плоскости, или в трехмерном пространстве есть группа преобразований; более того, оно принадлежит к группам преобразований особого рода, называемым абелевыми группами[132], где любые два преобразования перестановочны. Напротив, множество поворотов около точки и множество всех перемещений твердого тела в пространстве суть неабелевы группы.

Предположим теперь, что имеется какая-то величина, связанная со всеми элементами, преобразуемыми данной группой преобразований. Если эта величина не изменяется, когда каждый элемент изменяется одним и тем же преобразованием группы, каково бы ни было это преобразование, то она называется инвариантом группы. Существует много разновидностей таких инвариантов. Из них для наших целей особенно важны две.

Первая разновидность — так называемые линейные инварианты. Обозначим через х элементы, преобразуемые абелевой группой, и пусть f(x) — комплексная функция этих элементов, обладающая надлежащими свойствами непрерывности или интегрируемости. Тогда, если Тх — элемент, получаемый из х при преобразовании Т, a f(x) — функция с абсолютным значением 1, такая, что

f (Tx) = ?(T) f(x),          (2.03)

где ?(T) — число с абсолютным значением 1, зависящее только от Т, то f(x) мы будем называть характером группы.

Это инвариант группы в несколько обобщенном смысле. Ясно, что если f (x) и g(x) — характеры группы, то f(x)g(x) также есть характер группы, как и [f(x)] ^—1. Если какая-либо функция h(x), определенная на группе, представима линейной комбинацией характеров группы, скажем в виде

 ,          (2.04)

где f_k(x) — характер группы, и если ?_k(T) находится в таком же отношении к f_k(x), как ?(T) — к f(x) в (2.03), то [c.108]

           (2.05)

Таким образом, коль скоро h(x) допускает разложение по некоторому множеству характеров группы, то и h (Tx) при всех Т допускает такое разложение.

Мы видели, что характеры группы порождают другие характеры при умножении и обращении; нетрудно видеть также, что константа 1 есть характер. Следовательно, умножение на характер порождает группу преобразований самих характеров; последняя называется группой характеров исходной группы.

Если исходная группа есть группа сдвигов по бесконечной прямой, то оператор Т изменяет х в х+Т и соотношение (2.03) переходит в соотношение

 ,          (2.06)

которое выполняется при f(x) =e^i?x, ?(T)= e^i?T. Характерами будут функции e^i?x, а группой характеров будет группа сдвигов, изменяющая ? в ?+? и, следовательно, имеющая такое же строение, как и исходная группа. Но дело будет обстоять иначе, если исходная группа состоит из поворотов по окружности. В этом случае оператор Т изменяет х в число, лежащее между 0 и 2? и отличающееся от х+Т на целочисленное кратное 2?. Соотношение (2.06) еще справедливо, но у нас появляется добавочное условие

 .          (2.07)

Положив вновь f(x) = e^i?x, получим

 .          (2.08)

Это значит, что ? должно быть целым действительным числом — положительным, отрицательным или нулем. Следовательно, группа характеров здесь соответствует сдвигам целых действительных чисел. С другой стороны, если исходная группа есть группа сдвигов целых чисел, то х и Т в (2.06) могут принимать только целочисленные значения и функция e^i?x задается полностью числом, лежащим между 0 и 2? и отличающимся от ? на целочисленное кратное 2?. Следовательно, группа характеров в этом случае по существу представляет собой группу поворотов по окружности.

В любой группе характеров числа ?(T), соответствующие