y' (a ) =  0, А₂ у (b ) + B₂ y' (b ) = 0

  (т. н. собственных функций ), а также о нахождении значений параметра l (собственных значений), при которых существуют такие решения. При некоторых условиях на коэффициенты р (х ), q (x ) Ш.—Л. з. можно свести к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида

  -y' + q (x ) y = ly. (2)

  Была впервые (1837—41) исследована Ж. Лиувиллем и Ж. Ш. Ф. Штурмом .

  Решение некоторых видов уравнений математической физики методом Фурье приводит к Ш.— Л. з. Например, задача о колебаниях однородной струны, закрепленной на концах, приводит к Ш.— Л. з. для уравнения —у' = lу с граничными условиями y (0) = y (p) = 0. В этом случае существует бесконечная последовательность значений 1² , 2² ,..., n ² ,... , которым соответствуют собственные функции sinnx , образующие на отрезке [0, p] полную ортогональную систему функций (см. Ортогональная система функций ). Аналогично обстоит дело и в общем случае, возникающем, например, при изучении распространения тепла в неоднородном стержне и т.д. И здесь, если функция q (x ) в уравнении (2) непрерывна и действительна на отрезке [a , b ], a A ₁ , B ₁ , A ₂ , B ₂ — действительные числа, существует возрастающая последовательность действительных собственных значений l₁ ,... , l_п ,... , стремящаяся к бесконечности, причём каждому из l_п соответствует определённая с точностью до постоянного множителя собственная функция j_п (х ), имеющая n нулей на участке а < х < b. Функции j_п (х ) образуют на [а , b ] полную ортогональную систему функций [для уравнения (1) имеет место ортогональность с весом р (х )]. Полнота такой системы функций была доказана В. А. Стекловым в 1896. Весьма общие теоремы о разложении функций в ряды Фурье по системе j_п (х ) доказал Д. Гильберт (1904) с помощью теории линейных интегральных уравнений. При возрастании п