каждое из чисел
а + b = m + n + (m — n) = 2m
и
а — b = m + n — (m — n) = 2n,
т. е. р должно было бы делить числа m и n. Но это невозможно, так как D(m, n) = 1.
Предположим теперь, что есть разложение данного нечетного числа у на два множителя
y = a b, a > b, D (a, b) = 1. (5.3.3)
Из (5.3.2) получаем
m = 1/2 (a + b), n = 1/2 (a — b). (5.3.4)
Эти два числа также взаимно простые, поскольку любой их общий множитель должен был бы делить числа а = m + n и b = m — n. Кроме того, числа m и n не могут быть оба нечетными, ибо тогда каждое из чисел а и b делилось бы на 2. Отсюда заключаем, что числа m и n удовлетворяют условиям (5.2.8) и, таким образом, определяют простейший треугольник, одна из сторон которого у = m2 — n2.
Пример. Пусть y = 15. Для него существуют два разложения на множители, удовлетворяющие условиям (5.3.3), а именно:
у = 15 • 1 = 5 • 3.
Первое из них дает
m = 8, n = 7, x = 112, у = 15, z = 113,
а второе
m = 4, n = 1, x = 8, y = 15, z = 17.
Пусть, далее, задана сторона х. Так как какое-то из чисел m или n делится на 2, то очевидно, что х = 2mn должно делиться на 4. Если разложить число х/2 на два взаимно простых множителя, то больший из них можно взять в качестве числа m, а меньший — n.
Пример. Возьмем х = 24; тогда
1/2 x = 12 • 1 = 4 • 3.
Первое разложение дает
m = 12, n = 4, х = 24, y = 143, z = 145,
а второе
т = 4, n = 3, х = 24, у = 7, z = 25.
Третий и последний случай приводит нас к необходимости коснуться одной важной задачи теории чисел. Если z — гипотенуза простейшего треугольника Пифагора, то в соответствии с (5.2.7) имеем
z = m2 + n2. (5.3.5)
т. е. число z есть сумма квадратов чисел m и n, удовлетворяющих условиям (5.2.8).
Это приводит нас к постановке вопроса, уже решенного П. Ферма: когда целое число можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел:
z = a2 + b2? (5.3.6)
На время забудем все ограничения на числа а и b. Пусть они могут иметь общие множители, а также каждое из них, или даже сразу оба могут обращаться в нуль. Перечислим все целые числа, меньшие десяти, представляемые в виде суммы двух квадратов:
0 = 02 + 02, 1 = 12 + 02, 2 = 12 + 12, 4 = 22 + 02, 5 = 22 + 12, 8 = 22 + 22, 9 = 32 + 02, 10 = 32 +12.
Оставшиеся числа 3, 6 и 7 не представляются в виде суммы двух квадратов.
Опишем, как можно выяснить, является ли число суммой двух квадратов. К сожалению, мы не можем привести здесь доказательства ввиду его сложности.
Рассмотрим вначале простые числа. Каждое простое число вида р = 4n + 1 всегда является суммой двух квадратов; например,
5 = 22 + 12, 13 = 32 + 22, 17 = 42+12, 29 = 52 + 22.
Существенно, что такое представление может осуществляться единственным способом.
Остальные нечетные простые числа имеют вид q = 4n + 3, т. е.
q = 3, 7, 11, 19, 23, 31…
Ни одно такое простое число не представляется в виде суммы двух квадратов; более того, вообще ни одно число вида 4n + 3 не может быть представлено в виде суммы двух квадратов. Чтобы убедиться в этом, заметим, что если целые числа а и b оба четные, то а2 и b2 оба делятся на 4, отсюда и а2 + b2 делится на 4. Если они оба нечетные, например, а = 2k + 1, b = 2l + 1, то а2 + b2 = 4k2 + 4k + 1 + 4l2 + 4l + 1 = 4 (k2 + l2 + k + l) + 2, поэтому а2 + b2 имеет при делении на 4 остаток 2. И наконец, если одно из целых чисел а и b четное, а другое — нечетное, скажем, а = 2k + 1, b = 2l, то а2 + b2 = 4k2 + 4k + 1 + 4l2 и имеет при делении на 4 остаток 1. Итак, мы перебрали все возможности и можем заключить, что сумма двух квадратов никогда не представима в виде 4n + 3.
Чтобы закончить наше исследование для простых чисел, заметим, что 2 = 12 + 12.
Для того чтобы проверить, является ли составное число z суммой двух
