d = D(m1, n1) = 1. (5.2.5)
Так как произведение (5.2.4) этих двух взаимно простых чисел является квадратом, то можно использовать результат, изложенный в конце § 2 гл. 4 (стр. 50), согласно которому числа m1 и n1 являются квадратами
m1 = m2, n1 =, D(m, n) = 1. (5.2.6)
Здесь мы можем без нарушения общности считать, что m > 0, n > 0. Теперь подставим m2 и n2 вместо m1 и n1 соответственно в уравнения (5.2.3) и (5.2.4);
получим
m2 = 1/2 z + 1/2 y, n2 = 1/2 z — 1/2 y, m2n2 = 1/4 x2,
т. е.
x = 2mn, y = m2 — n2, z = m2 + n2. (5.2.7)
Проверка показывает, что эти три числа всегда удовлетворяют соотношению Пифагора х2 + у2 = z2.
Осталось определить, какие целые положительные числа m и n в действительности соответствуют простейшим треугольникам. Докажем, что следующие три условия на числа m и n являются необходимыми и достаточными:
(1) (m, n) = 1,
(2) m > n, (5.2.8)
(3) одно из чисел m и n четное, а другое — нечетное.
Доказательство. Сначала покажем, что если числа х, у, z образуют простейшую тройку, то условия (5.2.8) выполняются. Мы уже показали, что условие (1) является следствием того, что числа х, у, z взаимно простые. Условие (2) следует из того, что числа х, у, z — положительны. Чтобы увидеть, что условие (3) необходимо, заметим, что если m и n оба нечетные, то в соответствии с (5.2.7) у и z были бы оба четные, в противоречие с результатами, полученными в конце предыдущего параграфа.
Наоборот, если условия (5.2.8) выполнены, то соотношения (5.2.7) определяют простейшую тройку: условие (2) обеспечивает положительность чисел х, у и z.
Могут ли какие-нибудь два из этих трех чисел иметь общий простой множитель р? Такое простое число р, делящее два из них, должно также делить и третье в силу соотношения х2 + у2 = z2. Если число р делит х, то оно в соответствии с (5.2.7) должно делить 2mn. Число р не может равняться 2, потому что у и z нечетные в соответствии с условием (3) и (5.2.7). Предположим, что р ≠ 2 — нечетное простое число, делящее m. Тогда условие (1) и выражение (5.2.7) показывают, что р не может делить у и z. Такие же рассуждения применимы и для случая, если р делит число n.
Найдя необходимые и достаточные условия (5.2.8) для того, чтобы m и n давали простейший треугольник, можно вычислить все такие треугольники с помощью соотношения (5.2.7). Например, пусть
m = 11, n = 8.
Наши условия выполнены, и мы находим, что
х = 176, у = 57, z = 185.
В табл. 3 приведены все простейшие треугольники х, у, z для нескольких первых значений чисел т и n.
Таблица 3
Система задач 5.2.
1. Продлите таблицу для всех значений m ≤ 10.
2. Могут ли два разных набора значений чисел m и п, удовлетворяющих условию (5.2.8), дать один и тот же треугольник?
3. Найдите все пифагоровы треугольники, у которых длина гипотенузы не превосходит 100.
§ 3. Несколько задач о треугольниках Пифагора
Мы решили задачу нахождения всех треугольников Пифагора. Здесь, как почти всегда в математике, решение одной задачи приводит к постановке ряда других задач. Часто новые вопросы оказываются значительно более трудными, чем первоначальный.
Одним из естественных вопросов о простейших треугольниках является следующий. Пусть задана одна из сторон простейшего треугольника Пифагора, как найти остальные? Первым рассмотрим случай, когда известна сторона у. В соответствии с (5.2.7)
y = m2 — n2 = (m + n) (m — п), (5.3.1)
где m и n—числа, удовлетворяющие условиям (5.2.8).
В уравнении (5.3.1) множители (m + n) и (m — n) взаимно простые. Чтобы в этом убедиться, заметим, что эти множители
а = m + n, b = m — n (5.3.2)
оба нечетные, так как одно из чисел m и n нечетное, а другое четное. Если числа а и b имеют общий нечетный простой множитель р, то число р должно было бы делить
