6 = 1 • 4 + 2,

4 = 2 • 2 + 0.

Следовательно, (1970, 1066) = 2.

Этот метод нахождения наибольшего общего делителя двух чисел называется алгоритмом Евклида, так как первое его описание содержится в «Началах» Евклида. Этот метод очень удобен для применения в вычислительных машинах.

Вновь вернемся к дробям. Чтобы сложить (или вычесть) две дроби

c/a, d/b,

мы приводим их к общему знаменателю, а затем складываем (или вычитаем) числители.

Пример.

2/15 + 5/9 = 6/45 + 25/45 = 31/45.

Вообще, чтобы получить сумму

c/a + d/b,

мы должны найти общее кратное для чисел а и b, т. е. число m, на которое делятся как число а, так и b. Одно из таких чисел очевидно, а именно, их произведение m = ab; в результате получаем в качестве суммы дробей

c/a + d/b = cb/ab + da/ab = (cb + da) /ab.

Но существует бесконечно много других общих кратных для чисел а и b. Предположим, что мы знаем разложение этих двух чисел на простые множители:

а = р₁^α₁ • … • р_r^αr, b = р₁^β₁ •… • р_r^βr. (4.4.1)

Число m, которое делится одновременно на числа а и b, должно делиться на каждый простой делитель p_i чисел а и b и содержать его в степени μ_i не меньшей, чем большая из двух степеней α_i и β_i. Таким образом, среди общих кратных существует наименьшее

m₀ = р₁^μ₁ • … • р_r^μr, (4.4.2)

в котором каждый показатель степени μ_i равен большему из чисел α_i и β_i. Очевидно, что число m₀ является наименьшим общим кратным и любое другое общее кратное чисел а и b делится на m₀. Для наименьшего общего кратного существует специальное обозначение

m₀ = K(a, b). (4.4.3)

Пример. а = 140, b = 110. Разложение на простые множители этих чисел таково:

a = 2²  5¹ • 7¹ • 11⁰, b = 2¹ • 5¹ • 7⁰ • 11¹,

следовательно,

К(а, b) = 2² 5¹ • 7¹ • 11¹ = 1540.

Существует следующее простое соотношение между наибольшим общим делителем и наименьшим общим кратным:

ab = D(a, b) K(a,b). (4.4.4)

Доказательство. Перемножив два числа из (4.4.1), получим

аb = p₁^{α₁ +β₁} … • p_r^{α_r +β_r}. (4.4.5)

Как мы отмечали, степень числа р_i в D(a, b) является меньшей из двух чисел α_i и β_i, а в числе К(а, b) она большая из них. Предположим, что α_i ≤ β_i. Тогда степень числа р_i в числе D(a, b) равна α_i, а в К (а, b) равна β_i; следовательно, в их произведении

D(a, b) К(а, b)

она равна α_i + β_i, что в точности равняется степени в произведении (4.4.5). Это показывает справедливость соотношения (4.4.4).

Пример. а = 140, b = 110, D(a, b) = 10, К (а, b) = 1540.

ab = 140 •  110 = 10 • 1540 = D(a, b) К(а, b).

Из правила (4.4.4) вытекает, что если а и b взаимно простые, то их произведение равно их наибольшему общему кратному; действительно, в этом случае